Resolver la siguiente integral trigonométrica

Question

Calcular:

$$\int _{0}^{\pi }\cos(x)\log(\sin^2 (x)+1)dx$$

Answer 1

He aquí el poder de la simetría:

$$\cos(\pi - x) = - \cos x\quad\text{and} \quad \sin (\pi - x) = \sin x,$$

por lo tanto

\begin{align} \int_0^\pi \cos x \log (\sin^2 x + 1) \,dx &= \int_0^\pi \cos (\pi - u)\log (\sin^2(\pi - u) + 1)\,du\\ &= - \int_0^\pi \cos u\log (\sin^2 u + 1)\,du, \end {Alinee el}

por lo tanto, la integral se evalúa como $0$.

Answer 2

$$\int\cos x\ln(1+\sin^2x)\ dx$$

$$=\ln(1+\sin^2x)\int\cos x\ dx-\int\left(\dfrac{d\ \ln(1+\sin^2x)}{dx}\int\cos x\ dx\right)dx$$

$$=\sin x\cdot\ln(1+\sin^2x)-\int\dfrac{2\sin^2x\cos x}{1+\sin^2x}dx$$

$$\int\dfrac{2\sin^2x\cos x}{1+\sin^2x}dx=\int\dfrac{2(1+\sin^2x-1)\cos x}{1+\sin^2x}dx=2\int\cos x\ dx-2\int\dfrac{\cos x}{1+\sin^2x}dx$$

Set $\sin x=u$ para la última integral

Answer 3

Sugerencia: Sustituya $y=sin(x), y' = cos(x)$. Utilizar las leyes #% y logaritmo de %#%. La integral sobre logaritmo es fácil de encontrar en las tablas de integrales.

Answer 4

$$\int_0^\pi \cos(x) \log(\sin^2(x)+1)dx$$

Lo primero que queremos hacer es sacar el $\log$ de la integral. Realizar integración por las piezas ponemos $u=\log(\sin^2(x)+1)$ y $dv=\cos(x)dx$ $du = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin^2(x)+1} dx$ y $v = \sin(x)$.

Por lo tanto el integral transforma a $$\left.\sin(x)\log(\sin^2(x)+1)\right|_0^\pi - \int_0^\pi \frac{2\sin^2(x)\cos(x)}{\sin^2(x)+1} dx=0- \int_0^\pi \frac{2\sin^2(x)\cos(x)}{\sin^2(x)+1} dx$ $

Ahora nos cambio la integral por $\pi/2$, reemplace $x=u+\pi/2$ para encontrar:

$$-\int_0^\pi \frac{2\sin^2(x)\cos(x)}{\sin^2(x)+1} dx = -\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2\sin^2(u+\pi/2)\cos(u+\pi/2)}{\sin^2(u+\pi/2)+1} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2\cos^2(u)\sin(u)}{\cos^2(u)+1} dx$$

Aviso ahora que es $\frac{2\cos^2(x)}{\cos^2(x)+1}$ y $\sin(x)$ es extraño, por lo tanto su producto es extraño. La integración ocurre en un intervalo simétrico, así $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2\cos^2(u)\sin(u)}{\cos^2(u)+1} dx=0.$ $

Answer 5

Esta respuesta está en la misma vena que la de Daniel Fischer, pero presentados de forma diferente.

Hacer la sustitución $u = x - \pi/2$. Entonces el integral se convierte en $$-\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin u \log(1 + \cos^2 u) \, du,$ $, que es la integral de una función impar sobre $[-\pi/2,\pi/2]$. Por lo tanto la integral es cero.