A continuación se presenta mi prueba de la afirmación de que el conjunto de matrices diagonalizables es denso de Zariski en $M_n(\mathbb F)$ . ¿Esto es correcto?
Dejemos que $\mathbb F$ sea un campo infinito (no necesariamente cerrado algebraicamente) y $M_n(\mathbb F)$ el conjunto de todos los $n \times n$ matrices con entradas en $\mathbb F$ .
Denotamos por $D_n(\mathbb F)$ el conjunto de $n \times n$ matrices diagonalizables con entradas en $\mathbb F$ .
Para cada $A \in M_n(\mathbb F)$ denotamos por $d(A)$ el discriminante del polinomio característico de $A$ .
Desde $d(A)$ es un polinomio en las entradas de $A$ con coeficientes en $\mathbb F$ , el conjunto $U := \{ X \in M_n(\mathbb F) : d(X) \not = 0 \}$ está abierto a Zariski. (Aquí, estamos identificando $M_n(\mathbb F)$ con ${\mathbb A}^{n^2}$ .)
Se deduce del hecho de que ${\mathbb A}^{n^2}$ es irreducible que $U$ es densamente Zariski en ${\mathbb A}^{n^2}$ . Como $U$ está contenida en $D_n(\mathbb F)$ , $D_n(\mathbb F)$ también es densamente Zariski en ${\mathbb A}^{n^2}$ .
Gracias de antemano.
