Polígonos regulares construidos dentro de los polígonos regulares

Question

Deje $P$ regular $n$-gon, y erigir en cada borde hacia el interior regular $k$-gon, con el borde de las longitudes de coincidencia. Vea el ejemplo de abajo para$n=12$$k=3,\ldots,11$.

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Dos preguntas:

Q1. Dado $n$, por lo que $k$ es el centro de un polígono regular?

Aquí creo que la respuesta es: Por extraño $k \le \lfloor n/2 \rfloor$, el centro no es un polígono regular; y de lo contrario es. En el ejemplo de arriba, $k=3,5$ llevar a las estrellas en lugar de polígonos regulares. Pero tal vez me estoy perdiendo algunos de los casos?

Q2. Al $n$ $k$ conducir a una central de polígono regular, es el caso de que el número de aristas del polígono central es siempre o $n$ o $2n$?

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Añadido. Aquí es $n=10$, $k=5$:
     

Answer 1

Esta respuesta es sólo un boceto; los cálculos y trámites están a la izquierda. Asumo $2<k<n$.

Si $k$ es incluso entonces para cada a $k$-gon el borde más cercano a la centro de la $n$-gon es el opuesto del borde en el $n$-gon. Este borde debe ser, por tanto, en el límite de la región interior. Cada borde más cercano se cruza con el más cercano de los bordes de los vecinos, $k$- ágonos, de ahí el interior de la región está delimitada por estas más cercana a los bordes. Por simetría el interior de la región es entonces un regular $n$-gon.

Si $k$ es impar y $2k<n$, en el centro de la regular $n$-gon no está contenida en el ordinario de la $k$-ágonos, y el límite de la región interior no es convexa, y por lo tanto no regular $m$-gon para cualquier $m$.

Si $k$ es impar y $2k=n$, a continuación, para cada una de las $k$-gon el vértice opuesto a su ventaja en la $n$-gon es el centro de la $n$-gon. De ahí que no haya interior del polígono.

Si $k$ es impar y $2k>n$ entonces el centro de la regular $n$-gon está contenida en el ordinario de la $k$-ágonos. Para cada una de las $k$-gon los bordes más cercano a la centro de la $n$-gon son los adyacente al vértice opuesto del borde en el $n$-gon. Por lo tanto, estos bordes están en el límite de la región interior. Estos más cercano bordes se cruzan una de las más cercanas a los bordes de cada uno de los vecinos, $k$- ágonos, de ahí el interior de la región está limitada únicamente por estos pares de aristas adyacentes. Por simetría el interior de la región es entonces un regular $2n$-gon

Resumiendo, el interior de la región es:

• Regular $n$-gon si $k$ es incluso. En este caso, la apotema del polígono interno es $a_i=|a_n-2a_k|$ donde $a_n$ $a_k$ son los apothems de la regular $n$-gon y $k$-gon, respectivamente.

• Regular $2n$-gon si $k$ es impar y $2k>n$. En este caso el radio del interior de la $2n$-gon es $r_i=r_k+a_k-a_n$, donde $r_k$, $a_k$ y $a_n$ son el radio y la apotema de la $k$-ágonos y la apotema de la $n$-gon.

• No es un polígono regular de otra manera.