Evaluación $\int_0^ {\frac\pi2} \frac {\ln{(\sin x)} \ \ln{(\cos x})} {\tan x} \ $ dx

Question

Necesito resolver $$ \int_0^{\Large\frac\pi2}\frac{\ln{(\sin x)} \ \ln{(\cos x})} {\tan x} \ dx $$

Intenté utilizar propiedades simétricas de las funciones trigonométricas como comúnmente se utiliza para calcular $$ \int_0^{\Large\frac\pi2}\ln\sin x\ dx = - \frac{\pi}{2}\ln2 $$ pero nunca tuvo éxito. (ver este por ejemplo)

Answer 1

Vamos a empezar con la sustitución $ \displaystyle \ln(\sin x) = u $ y obtenemos: $$\ln(\cos x)=\frac{\ln(1-e^{2u})}{2}$$ $$\displaystyle\frac{1}{\tan x} \ dx =du$$ que más rendimientos $$\int_0^{\pi/2}\frac{(\ln{\sin x})(\ln{\cos x})}{\tan x}dx= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{0} \ln(1-e^{2u}) u \ du$$

De acuerdo a la expansión de Taylor tenemos $$\ln(1-e^{2u})= \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{2k+1} \frac{e^{2 k u}}{k}$$ entonces $$\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{0} \ln(1-e^{2u}) u \ du=$$ $$\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2k+1}}{k} \int_{-\infty}^{0} u e^{2ku} \ du =$$ $$\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2k+1}}{k} \frac{-1}{4k^2} = \frac{1}{8} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}=\frac{1}{8} \zeta(3).$$

Nota: el valor de $\zeta(3)\approx1.2020569$ se llama Apéry Constante - ver aquí.

Q. E. D. (Chris)

Answer 2

Vamos a $u = \sin^2(x)$. Entonces $\frac{\mathrm{d}x}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \mathrm{d}x = \frac{d\sin(x)}{\sin(x)} = \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}u}{u}$, $\ln(\sin(x)) = \frac{1}{2}\ln(u)$ y $\ln(\cos(x)) = \frac{1}{2} \ln(1-u)$: $$ \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(\sin(x)) \ln(\cos(x))}{\tan(x)} \mathrm{d} x = \frac{1}{8} \int_0^{1} \frac{\ln u}{u} \cdot \ln(1-u) \mathrm{d} u = \left.\frac{1}{8} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} \mathrm{d} t} \int_0^1 u^{m-1} (1-u)^{t-1} \mathrm{d}u \right|_{s\to 0^+,t=1} = \left.\frac{1}{8} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} \mathrm{d} t} \frac{\Gamma(s) \Gamma(t)}{\Gamma(s+t)} \right|_{s\to 0^+,t=1} $$ Por primera vez se diferencian con respecto a $t$, y el sustituto de $t=1$: $$ \left.\frac{1}{8} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \frac{\Gamma(s)}{\Gamma(s+1)}\left( \psi(1) - \psi(s+1)\right) \right|_{s\to 0^+} = \left.\frac{1}{8} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \frac{\left( \psi(1) - \psi(s+1)\right) }{s} \right|_{s\to 0^+} $$ El uso de expansión en series de Taylor para la función digamma $\psi(s)$ tenemos: $$ \frac{\left( \psi(1) - \psi(s+1)\right) }{s} = -\zeta(2) + \zeta(3) s + \mathcal{s}(s) $$ De ahí el valor de la integral es: $$ \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(\sin(x)) \ln(\cos(x))}{\tan(x)} \mathrm{d} x = \frac{1}{8} \zeta(3) $$

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Alternativamente, usted podría utilizar $$\frac{\ln(1-u)}{u} = -\sum_{k=0}^\infty \frac{u^k}{k+1}$$ e integrar plazo-sabio: $$\int_0^1 u^k \ln(u) \mathrm{d} u \stackrel{u=\exp(-t)}{=} \int_0^\infty t \exp(-t(k+1)) \mathrm{d} t = -\frac{1} {k(k+1)^2}$$ la cual se obtiene el resultado inmediatamente.

Answer 3

Reescribir la integral como $$ \int_0^{\Large\frac\pi2}\frac{\ln{(\sin x)}\ \ln{(\cos x})}{\tan x}\ dx=\int_0^{\Large\frac\pi2}\frac{\ln{(\sin x)}\ \ln{\sqrt{1-\sin^2 x}}}{\sin x}\cdot\cos x\ dx. $$ $T=\sin x\ \color{red}{\Rightarrow}\ dt=\cos x\, dx$, entonces obtenemos \begin{align} \int_0^{\Large\frac\pi2}\frac{\ln{(\sin x)}\ \ln{(\cos x})}{\tan x}\ dx&=\frac12\int_0^1\frac{\ln t\ ln(1-t^2)}{t}\ dt\\ y=-\frac12\int_0^1\ln t\sum_{n=1}^\infty\frac{t^{2n}}{nt}\ dt\tag1\\ y=-\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\int_0^1^{2n-1}\ln t\ dt\\ &=\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{(2n)^2}\tag2\\ &=\large\color{blue}{\frac{\zeta(3)}{8}}. \end{align}

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Notas :

$[1]\ \ $Uso la serie de Maclaurin para el logaritmo natural: $\displaystyle\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}\ $ para $|x|<1$.

$[2]\ \ $$\displaystyle\int_0^1 x^\alpha \ln^n x\ dx=\frac{(-1)^n n!}{(\alpha+1)^{n+1}}\ $ para $ n=0,1,2,\cdots$

Answer 4

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{\int_{0}^{\pi/2}{\ln\pars{\sin\pars{x}}\ln\pars{\cos\pars{x}} \\tan\pars{x}}\,\dd x:\ {\large ?}}$

\begin{align}&\overbrace{\color{#66f}{\large\int_{0}^{\pi/2}{\ln\pars{\sin\pars{x}}\ln\pars{\cos\pars{x}}\ \tan\pars{x}}\,\dd x}} ^{\ds{\mbox{Set}\ \sin\pars{x} \equiv t\ imp\ x = \arcsin\pars{t}}}\ =\ \int_{0}^{1}{\ln\pars{t}\ln\pars{\raíz{1 - t^{2}}} \over t\,/\raíz{1 - t^{2}}}\, {\dd t \\raíz{1 - t^{2}}} \\[5mm]&=\media\int_{0}^{1}{\ln\pars{t}\ln\pars{1 - t^{2}} \over t}\,\dd t =\media\int_{0}^{1}{\ln\pars{t^{1/2}}\ln\pars{1 - t}\over t^{1/2}}\,\media\,t^{-1/2}\,\dd t \\[5mm]&={1 \over 8}\int_{0}^{1}{\ln\pars{t}\ln\pars{1 - t} \over t}\,\dd t =-\,{1 \over 8}\int_{0}^{1}{{\rm Li}_{1}\pars{t} \over t}\,\ln\pars{t}\,\dd t =-\,{1 \over 8}\int_{0}^{1}{\rm Li}_{2}'\pars{t}\ln\pars{t}\,\dd t \\[5mm]&={1 \over 8}\int_{0}^{1}{{\rm Li}_{2}\pars{t} \over t}\,\dd t ={1 \over 8}\int_{0}^{1}{\rm Li}_{3}'\pars{t}\,\dd t ={1 \over 8}\,{\rm Li}_{3}\pars{1}=\color{#66f}{\large{1 \over 8}\,\zeta\pars{3}} \aprox 0.1503 \end{align}

$\ds{{\rm Li}_{\rm s}\pars{z}}$ es un PolyLogarithm Función y hemos utilizado las propiedades ya conocidas de ellos como se informó en el citado enlace.

$\ds{\zeta\pars{s}}$ es la de Riemann Zeta Función.