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¿Hay un número infinito de primeras cuádruples del % de forma $10n + 1$, $10n + 3$, $10n + 7$, $10n + 9$?

En base 10, cualquier número primo mayor que 5 se debe acabar con los dígitos $1$, $3$, $7$, o $9$. Para algunos $n$, $10n + 1$, $10n + 3$, $10n + 7$, $10n + 9$ son todos primos: por ejemplo, cuando se $n=1$, tenemos que $11$, $13$, $17$, y $19$ son todos primos. Mi pregunta es, ¿alguien puede refutar la afirmación de que hay un número infinito de tales números primos. (Si puedes probarlo, que está bien, también, pero viendo que es una forma más fuerte de los dos conjetura de los números primos, me imagino que sería difícil).

El único progreso que he sido capaz de hacer es mostrar que $n$ debe ser de la forma $3k + 1$ considerando el sistema de modular las desigualdades $$p \not\equiv 0 \mod{2}$$ $$p \not\equiv 0 \mod{3}$$ $$p \not\equiv 0 \mod{5}.$$

Más allá de eso, no sé a dónde ir.

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Tomas Puntos 3836

Supongo que usted no va a encontrar una prueba de que ni el positivo ni el negativo resultado aquí.

  • El resultado positivo sería, obviamente, implica la (no probada y probablemente difícil) twin primer conjetura.

  • El resultado negativo desmentirían el primero de Hardy-Littlewood conjetura acerca de la densidad de primer conjuntos con un patrón determinado, que (entre otras cosas) las conjeturas de un (positivo) de la densidad para el primer cuádruples.

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