Puede $f(g(x))$ sea un polinomio?

Question

Dejemos que $f(x)$ y $g(x)$ sean funciones reales-enteras no polinómicas.

¿Es posible que $f(g(x))$ es igual a un polinomio ?

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Algunos comentarios :

Estaba pensando en las iteraciones.

Así, por ejemplo $f(f(x)) = $ algún polinomio.

Sin embargo, tales $f$ no suelen ser (siempre) enteros debido a que un polinomio no lineal tiene más de un punto fijo.

Esto me llevó a considerar añadir la condición fuerte

$(f(g(x)) - g(f(x)))^2$ no es indéntico $0$ .

Pero supongo que esa es una pregunta de seguimiento.

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Real-entire significa entero y real-analítico.

Answer 1

Hay varias formas de demostrar que esto no puede ser cierto. Por ejemplo, según Casorati-Weierstrass, la imagen de $|z|>R$ en $g$ es denso en el plano para cada $R>0$ por lo que la imagen del mismo dominio bajo $f\circ g$ contiene un subconjunto denso de $f(\mathbb{C})$ que a su vez es denso en el plano, mostrando que $f \circ g$ tiene una singularidad esencial en $\infty$ .

(Y no importa que $f$ y $g$ son reales).