¿Qué significa un Lagrangiano de la forma $L=m^2\dot x^4 +U(x)\dot x^2 -W(x)$ ¿Representar?

Question

Vi este Lagrangiano en unas notas que tengo impresas:

$$ L\left(x,\frac{dx}{dt}\right) = \frac{m^2}{12}\left(\frac{dx}{dt}\right)^4 + m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\times V(x) -V^2(x). $$ (Aparece en los ejercicios del primer capítulo de Goldstein).

¿Qué es esto? ¿Es algo físico? Parece que no tiene las unidades de energía adecuadas.

Answer 1

Lagrangiano:

$$L~=~\frac{1}{3}T^2+2TV-V^2, \qquad T~:=~\frac{m}{2}\dot{x}^2. $$

Ecuación de Lagrange:

$$2(T-V)V^{\prime}~=~\frac{\partial L}{\partial x} ~=~ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) ~=~ \frac{d}{dt} \left[\left(\frac{2}{3}T +2V\right)m\dot{x}\right] $$ $$~=~ \left(\frac{2}{3}T +2V\right)m\ddot{x} + \left(\frac{2}{3}m\dot{x}\ddot{x} +2V^{\prime}\dot{x}\right)m\dot{x} ~=~ 2(T+V)m\ddot{x} +4TV^{\prime}, $$ o,

$$- 2(T+V)V^{\prime}~=~ 2(T+V)m\ddot{x}. $$

En otras palabras, se obtiene la segunda ley de Newton $^1$

$$ m\ddot{x}~=~-V^{\prime}. \qquad\qquad\qquad(N2) $$

Así que el Lagrangiano $L$ es equivalente a la habitual $T-V$ a nivel clásico.

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$^1$ Cabe preguntarse por la segunda rama $T+V=0$ pero como $T+V={\rm const}$ es una primera integral de (N2), la segunda rama ya está incluida en la primera rama (N2).