Cada continua y acotada $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f(x) = \int_x^{x+1} f(y) dy$ por cada $x$, es constante

Question

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser una continua y acotada función tal que para todos los $x$: $$f(x) = \int_x^{x+1} f(y) dy.$$ Demostrar que $f$ es constante.

Yo podría haber progresado si fue dado de que $f$ es diferenciable, pero con menos información que me estoy encontrando difícil.

Answer 1

Desde $f$ es un almacén de función es una base de distribución. A continuación, el de la transformación de Fourier de $f'(x) = f(x+1)-f(x)$ nos da \begin{equation*} i\xi F(\xi) = e^{i\xi}F(\xi)-F(\xi) \Leftrightarrow F(\xi)\cdot(i\xi -e^{i\xi}+1) = 0 \end{ecuación*} donde $F$ es la transformada de Fourier de $f$. Pero \begin{equation*} i\xi -e^{i\xi}+1 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \cos \xi = 1\\ \xi -\sin \xi = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \xi = 0 \text{ (doble)}. \end{ecuación*} En consecuencia \begin{equation*} \xi^{2}F(\xi) = 0 \Leftrightarrow F(\xi) = A\delta(\xi) + B\delta'(\xi) \end{ecuación*} donde $A$ $B$ son constantes. Después de la inversa de la transformación de Fourier tenemos \begin{equation*} f(x) = \dfrac{A}{2\pi} + \dfrac{Bx}{i2\pi}. \end{ecuación*} Pero $f$ está acotada. Por lo tanto $B = 0$ $f$ es constante.

Answer 2

Debido a $f$ es continua y que equivale a una integral definida en términos de $f$ sí, $f$ es diferenciable. Por otra parte, $f'(x) = f(x+1)-f(x)$. Por inducción, $$f^{(n)}(x) = \Delta^n f(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom nk f(x+k)$$ Supongamos que $|f|\leqslant M$. Lo anterior muestra que $|f^{(n)}|\leqslant M\sum_{k=0}^n \binom nk= 2^n M$. Debido a $2^n/n!$ converge a $0$, esto significa que $f$ define una analítica de la función. Además, la fórmula anterior se muestra que

$$e^x f(x) = \sum_{k\geqslant 0} f(k) \frac{x^k}{k!}$$

y la misma formula que se aplica en el caso de $f$ es reemplazado por cualquiera de sus derivados.

Esto es suficiente para mostrar que si $f$ es holomorphic delimitada por la línea real y $f'(z) = f(z+1)-f(z)$, $f$ es de la forma $f(z) = \mu z+\lambda$. Restando $f(0)$ podemos suponer que la $f(0)=0$, ya que la ecuación se mantiene sin cambios. También podemos suponer que $f(1)=0$ restando $f(1)z$. Queda por demostrar que si un holomorphic función que es delimitada por la línea real satisface $f(0)=f(1)=0$ $f'(z) = f(z+1)-f(z)$ entonces es idéntica a cero.