Implícito el uso del Teorema de la Función Implícita a la hora de encontrar la tangente a las líneas de curvas polares.

Question

Recientemente me encontré teniendo que enseñar a los estudiantes cómo encontrar la pendiente de una línea tangente a una curva en $\mathbb R^2$ en coordenadas polares por la ecuación de $r = f(\theta)$. Los estudiantes de cálculo libro les enseña que, sin duda, la pendiente de la recta tangente debe ser dado por $\frac{dy}{dx}$ y usa la regla de la cadena para calcular $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$$ Then, using the fact that $x = r\cos\theta$ and $y = r\sin\theta$ they are therefore able to find a formula for $\frac{dy}{dx}$ in terms of $r$ and $\theta$. There is however a problem with this line of reasoning, namely that there is no compelling reason for $s$ to be defined even locally as a function of $x$. El conocimiento del teorema de la función implícita nos permite formular la hipótesis necesarias para hacer que el modo de utilización de la regla de la cadena correcta. Sin embargo, sería bueno para justificar el uso de la regla de la cadena aquí usando sólo métodos disponibles para un primer año de cálculo estudiante. Mi pregunta es, por tanto,

Es allí una manera agradable (intuitiva o riguroso) de explicar cuándo y por qué se $y$ es una función derivable de $x$ en este caso, sólo el uso de los métodos disponibles para un primer año de cálculo estudiante?

Sí, es posible mirar a través de la prueba del teorema de la función implícita y simplificar en este caso, pero estoy especialmente interesado en escuchar los pensamientos de los maestros experimentados, así que espero que estoy justificado en hacer la pregunta.

Answer 1

Se me ocurren dos maneras de hacerlo. Si son las adecuadas para el primer año de cálculo estudiantes depende del plan de estudios.

El primero es resolver para $\theta$ como una función de la $x$. Si usted escribe $x-f(\theta)\cos\theta=0$, se utiliza el teorema de la función implícita para hacerlo. Pero si se escribe $x=f(\theta)\cos\theta:=g(\theta)$, es simplemente el teorema de la función inversa para funciones reales de una variable real, que se incluye en el plan de estudios de muchos el primer año de cálculo de los cursos. Si no está incluido, se puede justificar de la siguiente manera: si $g'(\theta_0)\ne0$, $g$ es estrictamente monótona en un barrio alrededor de $\theta_0$, existe una relación inversa, la inversa también es estrictamente monótona y es diferenciable.

La segunda es la escritura de la curva en forma paramétrica $$\begin{align*} x&=f(\theta)\cos\theta,\\ y&=f(\theta)\sin\theta. \end{align*}$$ A continuación, $(x',y')$ es un vector en la dirección de la tangente (si no es $(0,0)$). Desde ella se puede calcular la pendiente de la tangente, y encontrar al que la tangente es vertical.