Si $A$ es compacto y $B$ es cerrado, mostrar $d(A,B)$ se consigue

Question

Deje $A, B$ ser subconjuntos de un espacio métrico $X$. Si $A$ es compacto y $B$ es cerrado, muestran que la distancia entre el $A$ $B$ se consigue.

Intento de prueba:

Deje $A$ ser compacto y $B$ ser cerrado. Deje $m=d(A,B)=\inf_{b\in B} d(A,B)$. Entonces, hay dos posibilidades:
(un) $\exists b\in B$, $d(a,b)=m$. Si este es el caso, hemos terminado.
(b) $\forall b\in B$, $d(a,b)>m$. En este caso,

existe una secuencia $\{b_n\}\subseteq B:$ $d(a,b_n)\rightarrow m$ como $n\rightarrow\infty$, por definición, de infinum. Entonces existe una larga $\{b_{n_k}\}$: $d(b_{n_1},a)>d(b_{n_2},a)>...$ que es monótona decreciente. A continuación, tenga en cuenta que $d(b_{n_k},a)<d(b_{n_1},a)<\infty$. Así que es un almacén de secuencia. Ahora quiero mostrar que tiene un convergentes larga que converge a $b\in B$ y, a continuación, quiero hacer lo mismo para $A$. Y, finalmente, para mostrar que $d(a,b)=m$ en hecho. Alguna pista de cómo llegar allí?

Answer 1

Supongo que $A$ $B$ son subespacios compactos. Como se ha demostrado aquí la función de $d(\cdot,B):A\to \mathbb{R}_+:a\mapsto\inf\{d(a,b):b\in B\}$ es continua. Pero es definida en el espacio compacto $A$, por lo tanto, no existe $a_0\in A$ tal que $$ d(a_0,B)=\inf\{d(a,B):a\B\}=d(a,B) $$ Del mismo modo la función de $d(\{a_0\},\cdot):B\to\mathbb{R}_+:b\mapsto\inf\{d(a_0,b):b\in B\}$ es función continua en el compacto de espacio métrico $B$, por lo tanto, no existe $b_0\in B$ tal que $$ d(\{a_0\},b_0)=\inf\{d(\{a_0\},b):b\in B\} $$ Lo que es equivalente a $$ d(a_0,b_0)=d(a_0,B)=d(a,B) $$ para algunos $a_0\in A$$b_0\in B$.

Answer 2

Si uno de los conjuntos se acaba de cerrar tienes un montón de contraejemplos a su declaración. Ver los comentarios. Si los dos conjuntos son compactos, podemos usar algo similar a los argumentos para demostrar el resultado. Sólo con un poco de cuidado.

Así, considere la posibilidad de $X$ un espacio métrico y $A$, $B$ compacto de subconjuntos de a $X$. Existen secuencias de $\{a_n\}$$A$$\{b_n\}$$B$, de tal manera que $$\lim_{n\to\infty}d(a_n,b_n)=d(A,B).$$ En la métrica de los espacios de la noción de compacidad es equivalente a la compacidad secuencial. Entonces, desde el $A$ es compacto, existe una larga $\{a_{n_k}\}$ tal que $$\lim_{k\to\infty} a_{n_k}=a\quad\text{ with }\quad a\in A.$$ Note that $$\lim_{k\to\infty} d(a_{n_k},b_{n_k})=d(A,B).$$ Desde $B$ es compacto, existe una larga $\{b_{n_{k_j}}\}$, de tal manera que $$\lim_{j\to\infty} b_{n_{k_j}}=b\quad\text{ with }\quad b\in B.$$ Nota que $$\lim_{j\to\infty} d(a_{n_{k_j}},b_{n_{k_j}})=d(A,B),$$ pero, puesto que el $d$ es una función continua$^*$, por encima de la igualdad dice $$d(a,b)=d(A,B)\quad\text{ with }\quad a\in A,\, b\in B.$$

$^*$ , De hecho, considerar la posibilidad de $d:A\times B\to \mathbb{R}$. Teniendo en cuenta la métrica $D((a_1,b_1),(a_2,b_2))=d(a_1,a_2)+d(b_1,b_2)$ (justo lo que necesita) en $A\times B$ y la métrica usual en $\mathbb{R}$, se puede ver que $d$ es continua.

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Como se señaló en los comentarios, se puede ver que $A\times B$ es compacto en $X\times X$ con la métrica dada anteriormente. Desde $d$ es continua en el compacto $A\times B$, $d$ alcanza su extremums. Que le da el resultado deseado.