Derivar por $x^2$

Question

$$\frac{d}{dx^2}x=\frac{1}{2x}$$

No puedo entenderlo. Apareció en un contexto de física, es decir, puede no ser matemáticamente riguroso.

Gracias por la explicación.

Wolfram Alpha me dice que no puedo diferenciar por $x^2$ : Valor no válido

Answer 1

Llame a su variable $\;t:=x^2\implies \sqrt t=x\;,\;\;t\ge0\;$ , por lo que quiere

$$\frac d{dx^2}(x)=\frac d{dt}(\sqrt t)=\frac1{2\sqrt t}=\frac1{2x}$$

Answer 2

Dejemos que $f(x^2)=x$ .

Por lo tanto, para $x>0$ $$f'(x^2)=(\sqrt{x^2})'_{x^2}=\frac{1}{2\sqrt{x^2}}=\frac{1}{2x}$$

Si $x<0$ así que $$f'(x^2)=-(\sqrt{x^2})'_{x^2}=-\frac{1}{2\sqrt{x^2}}=\frac{1}{2x}$$

Answer 3

$$\large \frac{df(x)}{dg(x)}=\large \frac{\frac{df(x)}{dx}}{\frac{dg(x)}{dx}}=\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ por ejemplo $$f(x)=x^4+x^2+1 ,g(x)=x^2 $$ $$\frac{df}{dg}=\frac{d(x^4+x^2+1)}{d(x^2)}=\frac{4x^3+2x}{2x}=2x^2+1$$ si toma $u=x^2$ necesitas encontrar $\frac{df}{du}$ así que primero reescribe $f(x)$ por $u$ $$f(x)=(x^2)^2+x^2+1=u^2+u+1 \\ \to \frac{df}{du}=2u+1=2x^2+1$$ otro ejemplo : $$f(x)=sinx ,g(x)=tan x \\\frac{df}{dg}=\frac{cos x}{tan^2 x+1}=sec^3x$$

otro ejemplo : $$\frac{dx}{d(lnx)}=?\\=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x$$

Answer 4

$$\frac{d(x)}{dx} \cdot \frac{dx}{dx^2}=1 \cdot \frac{1}{dx^2/{dx}}=\frac{1}{2x}.$$