Los resultados de la QFT algebraica y constructiva que mencionas tratan de asuntos relacionados pero ligeramente diferentes.
( Editar: la versión anterior del siguiente párrafo era ligeramente engañosa - el teorema de Haag es en realidad más fuerte de lo que dije antes; ver más abajo para más detalles)
- El teorema de Haag (que en realidad es ligeramente anterior al inicio de la QFT algebraica) nos dice que no podemos escribir la dinámica de las imágenes de interacción dentro de los espacios de Hilbert que son representaciones de campo libre de las RCC. Esto es no lo mismo que decir que la dinámica interactiva no existe en absoluto - simplemente dice que no podemos implementar como operadores unitarios en el cuadro de interacción . Esto se hace mostrando que la posibilidad de hacerlo en algún espacio de Hilbert implica que estamos tratando con una representación de campo libre de las RCC. El argumento se cierra con un resultado de "trivialidad blanda" de Jost, Schroer y Pohlmeyer argumentando que esto último implica que todos los truncos $n$ -Las funciones de punto desaparecen para $n>2$ por lo que el campo es realmente libre - en particular, el "Hamiltoniano de interacción" es cero.
Esto tiene consecuencias tanto para la teoría de la dispersión como para los intentos de construir rigurosamente modelos teóricos de campo a partir de campos libres. En el primer caso, el teorema de Haag se elude mediante los formalismos de dispersión LSZ o Haag-Ruelle, que obtienen la matriz S tomando respectivamente límites de tiempo infinitos en el sentido débil (elementos de la matriz) y fuerte (vectores del espacio de Hilbert). Recordemos que ambas configuraciones requieren la suposición de una brecha de masa en el espectro conjunto de energía-momento (es decir, una cáscara de masa aislada y no nula), ya que de lo contrario nos encontramos con la famosa "catástrofe infrarroja", que se trata utilizando métodos de aproximación "no-recoil" (es decir, Bloch-Nordsieck) en la teoría formal de perturbaciones, pero sigue siendo un reto en un entorno más riguroso, salvo en algunos modelos no relativistas. En el segundo caso, uno se ve llevado a considerar representaciones de las RCC que son desigual a los de campo libre. Dado que las teorías de campo que viven en todo el espacio-tiempo tienen infinitos grados de libertad, el teorema de unicidad de Stone-von Neumann ya no se sostiene (en realidad, el teorema de Haag puede verse como una manifestación de este particular mecanismo de falla), y por lo tanto tales representaciones deberían existir en abundancia. Motivado por estos resultados, la QFT algebraica se concibió con un enfoque en los aspectos estructurales (es decir, "independientes del modelo") de la QFT de una manera que no depende de una representación en particular; en otro frente, también se puede tratar de explorar esta abundancia de representaciones para construir modelos de manera rigurosa, lo que nos lleva al reino de la QFT constructiva.
- Los resultados de "existencia" (también conocida como "no trivialidad") y "no existencia" (también conocida como "trivialidad") en la QFT constructiva nos dicen qué interacciones sobreviven tras la renormalización no-perturbativa. Más concretamente, se construyen modelos teóricos de campo de forma matemáticamente rigurosa considerando primero teorías interactivas "truncadas" (es decir, con cortes UV e IR), y luego eliminando cuidadosamente los cortes en una secuencia de operaciones controladas. El modelo resultante puede ser interactivo (es decir, "no trivial") o no (es decir, "trivial"), en el sentido de que su truncamiento $n$ -funciones de correlación de puntos para $n>2$ pueden ser respectivamente no evanescentes o no. En el primer caso, cualquier representación de las RCC en el espacio de Hilbert en el que vive el vector de estado del vacío que interactúa es necesariamente no equivalente a una de campo libre - en particular, no se puede escribir la dinámica que interactúa como operadores unitarios en la imagen de la interacción, de acuerdo con el teorema de Haag. En el segundo caso, se obtiene realmente una representación de campo libre de las RCC, pero aquí porque la renormalización ha matado completamente la interacción.
Por último, es importante señalar que la trivialidad de un modelo puede deberse a razones no relacionado al mecanismo subyacente del teorema de Haag. Este último, una vez más, es consecuencia de tener un número infinito de grados de libertad en volúmenes infinitos (este teorema no se cumple "en una caja", por ejemplo), mientras que el primero suele derivar de una interacción que tiene un comportamiento demasiado singular a corta distancia, como se ha argumentado en el párrafo anterior. Esto puede entenderse intuitivamente por la singularidad (local) y la integrabilidad (global) de las funciones de Green del campo libre: cuanto menor sea la dimensión espacio-temporal, mejor será el comportamiento singular (UV) y peor la integrabilidad (IR), y viceversa. Esta es la razón subyacente por la que $\lambda\phi^4$ Los modelos escalares son super-renormalizables en 2 y 3 dimensiones (teniendo sólo gráficos de Feynman de renacuajo como divergentes en 2 dimensiones) y no perturbativamente triviales en $>4$ dimensiones.
Ah, casi me he olvidado de las referencias: en mi opinión, la mejor discusión de los resultados de trivialidad en QFT desde un punto de vista riguroso es el libro de R. Fernández, J. Fröhlich y A. D. Sokal, "Random Walks, Critical Phenomena, and Triviality in Quantum Field Theory" (Springer-Verlag, 1992), especialmente el capítulo 13. En él, tanto los resultados de "trivialidad dura" anteriores para $\lambda\phi^4$ Se discuten los modelos y los "resultados de trivialidad suave", como el teorema de Jost-Schroer-Pohlmeyer (que subyace al teorema de Haag, mencionado al principio de mi respuesta). El libro no es precisamente para los débiles de corazón, pero las primeras secciones de este capítulo ofrecen una buena discusión de los enunciados de los teoremas, antes de pasar a las pruebas de los resultados de "trivialidad dura" mencionados. Para una discusión detallada de los teoremas de Jost-Schroer-Pohlmeyer y Haag, así como de sus pruebas, recomiendo el libro de J. T. Lopuszanski, "An Introduction to Symmetry and Supersymmetry in Quantum Field Theory" (World Scientific, 1991). El libro clásico de R. F. Streater y A. S. Wightman, "PCT, Spin and Statistics, and All That" (Princeton Univ. Press) también analiza estos dos resultados.
