Puede un evento observado en el hecho de ser de probabilidad cero?

Question

Puede un evento observado en el hecho de ser de probabilidad cero?

Por supuesto, yo sé que no existe la no-vacío eventos de probabilidad cero. Mu pregunta es a la inversa: dado que hemos observado un evento (y no tenemos ninguna otra información al respecto, sólo el hecho de que se ha observado), es posible que el evento se ha hecho probabilidad cero? O hace una observación necesariamente significa que la probabilidad es estrictamente positivo?

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Ejemplo del contexto para la pregunta:

Supongamos $x_i$ (countably muchos) son yo.yo.d en $[0,1]$, pero no sabemos la distribución de la que proceden. Puede ser uniforme en $[0,1]$, puede ser discretos, puede ser de cualquier legítima de distribución (discreta o continua). Solo imaginemos que tenemos una especie de máquina que nos muestra uno por uno de una lista de números extraídos al azar entre los $0$$1$. Estamos comparando lo observado números uno por uno a un lugar especial número elegido de antemano, por ejemplo,$\frac12$. Ahora bien, dado que en algunos iteración hemos observado que el número especial al menos una vez, eso no significa que $\frac12$ tiene alguna probabilidad positiva en virtud de que (desconocido) de distribución? Y si la probabilidad puede ser cero, podemos sin embargo decir que vamos necesariamente observar $\frac12$ nuevo más tarde si queremos continuar con el experimento ad infimum?

También, caso omiso de la "limitaciones del mundo real", tales como la incapacidad de producir verdaderamente uniformemente distribuidas números, o a errores de redondeo o cualquier cosa.

Answer 1

es posible que el evento se haya en el hecho de probabilidad cero?

Sí. Para una situación en la que esto siempre sucede, suponga que se observa un número aleatorio $x$ extraídas de la distribución uniforme en $(0,1)$. Entonces la probabilidad de observar la $x$ es cero.

(Prueba: Para cada intervalo de $I\subseteq(0,1)$ la probabilidad de observar un número en $I$ es la longitud de $I$. Para cada positivos $\varepsilon$, hay intervalos de $I\subseteq(0,1)$ que contengan $x$ y tienen la longitud de menos de $\varepsilon$ por lo tanto la probabilidad de observar exactamente $x$ es de menos de $\varepsilon$, para cada positivos $\varepsilon$, QED.)

Edit: En un espacio discreto $\{x_i\mid i\in\mathbb N\}$, la probabilidad de observar $x_i$ es, por hipótesis, algunas positivas $p_i$ por lo tanto el anterior sólo se aplica a distribuciones continuas (o, al menos, parcialmente continua).

Answer 2

Su pregunta no es una pregunta matemática, ya que depende de la interpretación de la probabilidad. También depende precisamente lo que significa "dado que hemos observado...".

Por ejemplo, subjetiva Bayesians pensar de la teoría de la probabilidad como la teoría de la forma (idealizado) de agentes racionales deben actualizar sus creencias a la luz de nuevas observaciones. Es parte de este marco idealizado que cuando un evento es observado, la probabilidad de medida se actualiza en forma tal, que el evento observado obtiene una probabilidad 1. IOW, la , a posteriori, probabilidad de un evento observado no sólo es distinto de cero, pero igual a 1. Por otro lado, el a priori de la probabilidad (la probabilidad antes de la actualización) podría ser cualquier cosa. Normalmente, Bayesians la adopción de la racionalidad de los principios como siempre la asignación de cero a priori de probabilidades a no vacío eventos en muestras finitas de los espacios. Pero la modelización de la idealización o lugar a juicios equivocados sobre el correspondiente espacio muestral podría todavía monto a asignar una probabilidad cero a los eventos que son posibles.

En un experimento en el que un terrón de azúcar con las caras marcadas 1,2,3,4,5,6 se produce exactamente una vez sobre una superficie mojada, Bob puede elegir el espacio muestral {1,2,3,4,5,6} y Alice puede elegir el espacio muestral {1,2,3,4,5,6,borde}. Si el cubo de azúcar termina de equilibrio en un borde, Alice podría actualizar sus probabilidades utilizando el teorema de Bayes (si ella asignado borde de algunas pequeñas pero probabilidad distinta de cero). Bob, por otro lado, se ha observado un evento que él le había asignado una fuga de un a priori de la probabilidad. Lo que se necesita para actualizar usando alguna otra regla de la regla de Bayes, ya que él también necesita ampliar su espacio muestral.

Hay muchas otras interpretaciones de la probabilidad subjetiva de Bayesianism, y la detallada respuesta a tu pregunta puede variar dependiendo de la interpretación que usted prefiera. Esta es la razón por la que no es un problema matemático.

EDIT: Respecto al agregado de aclaración a la pregunta original, sin duda, es posible (y típico!) para tener una probabilidad cero de $x_i = 1/2$ en el caso continuo. En el caso discreto, donde la probabilidad de masa está concentrada en algunos finito o countably infinito discreto subconjunto de [0,1], no estoy seguro. Si, por ejemplo, uno ha observado que $x_1 = \frac{1}{2}$, intuitivamente parece claramente irracional a base de predicciones acerca de $x_k$, $k > 1$, en una medida de probabilidad que asigna $P(x_k=\frac{1}{2}) = 0$. Pero yo no tengo ningún argumento formal para apoyar esta...

Answer 3

Si entiendo tu pregunta correctamente, esto es imposible debido a la regla de Bayes: $$ P(V|S) = \frac{P(S|V)P(V)}{P(S)} $$ donde $V$ es el evento. Claramente en el lado izquierdo es mayor que cero (vamos a decir $\epsilon$), debido a que han observado. Si su probabilidad es 0, aunque, a continuación, $P(V)=0$ y el lado derecho es 0, y $\epsilon \neq 0$.

Answer 4

En el supuesto de que siempre habrá dados en el universo, el evento "la primera vez que un dado es lanzado" tiene probabilidad cero, (por la interpretación frecuentista).