¿Cuando es una clasificación problema "salvaje"?

Question

Espero que alguien pueda me apunte a una definición rápida de la siguiente terminología.

Me siguen llegando a través de salvajes y tame en el contexto de problemas de clasificación, a menudo adornado con citas, que me lleva a creer que los términos son, quizás, no se utiliza en un sentido formal. Pero estoy seguro de que hay algunos definición formal.

Por ejemplo, el problema de clasificación para nilpotent álgebras de Lie se dice para ser salvaje en la dimensión $\geq 7$. Todo lo que sucede es que en la dimensión $7$ y encima hay módulos. ¿En qué sentido es esta naturaleza?

Gracias de antemano!

Answer 1

Yo no soy un experto, pero en el álgebra y la teoría de la representación, al parecer de definición estándar, es como sigue (ver también aquí y aquí): un problema es salvaje si contiene un subproblem que es equivalente al problema de reducir simultáneamente a la forma canónica de dos operadores lineales en un número finito de dimensiones del espacio.

Answer 2

En el local de la aritmética, se habla de salvajes y domesticar a la ramificación. Me explico un caso especial.

Deje que $K$ ser una extensión finita de $\mathbb{Q}_p$ ($p$ prime) y $L$ de un número finito de extensión de $K$. Hay dos enteros $e$, $f$ adjunta a $L|K$, llamado el índice de ramificación y el residual de grado.

Si denotamos la valoración de $L$ por $w:L^\times\to\mathbb{Z}$, entonces $e$ es el índice de dólares(w(L^\times):w(K^\times))$. Si denotamos por $l,k$ el residuo de los campos de $L,K$, entonces $f$ es el grado de dólares[l:k]$. Tenemos $ef=[L:K]$ siempre.

La extensión de $L|K$ se dice que unramified si $e=1$, confiando inocentemente ramificado si $p\no| e$, salvajemente ramificado si $p|e$, y totalmente ramificado, si $f=1$.

Confiando inocentemente ramificado extensiones de $L|K$ es muy fácil de entender. Todos ellos son de la forma $L=L_0(\raíz n\de\pi)$ para algunos unramified extensión de $L_0|K$, algunos uniformiser $\pi$ de $L_0$ y $n>0$ (prime $p$).

Salvajemente ramificado que las extensiones no se entienden completamente. El ejemplo más sencillo cuando sabemos todos ellos es $p=2$, $[L:K]=2$. Por $K=\mathbb{Q}_2$, hay siete cuadrática extensiones, obtenido por contigua $$ \sqrt5,\sqrt3,\sqrt{15},\sqrt2,\sqrt{10},\sqrt6,\sqrt{30}. $$ Todos estos son (violentamente) ramificado, excepto en $\mathbb{Q}_2(\sqrt5)$, que es unramified. Esto se debe contrastar con el hecho de que por $p\neq2$, $\mathbb{Q}_p$ sólo había tres cuadrática extensiones, obtenido por contigua $$ \sqrt u,\sqrt p, \sqrt{up}, $$ donde $u$ es una unidad que no es un cuadrado. De estos $\mathbb{Q}_p(\sqrt u)$ es unramified, los otros dos (confiando inocentemente) ramificado.

Espero que esto te da una idea de la diferencia entre tame y salvaje en la aritmética.

Answer 3

Aunque su petición específica de la terminología en el caso de las álgebras de Lie ha sido contestada, es muy interesante la cuestión más amplia que subyacen a su investigación. Es decir, ¿cómo podemos entender en una precisa manera general la idea de que un determinado problema de clasificación es complicada? ¿Cómo vamos a comparar la relativa dificultad de dos problemas de clasificación?

Estas preguntas forman la motivación central para la emergente sujeto conocido como Borel de equivalencia de la relación de la teoría (ver Greg Hjorth encuesta del artículo). La idea principal es que muchas de la más natural de las relaciones de equivalencia derivadas en muchas partes de las matemáticas resultan ser Borel relaciones en un espacio de Borel. Para dar un ejemplo, el problema de isomorfismo en finitely grupos generados, pero por supuesto, hay cientos de otros ejemplos. Un problema de clasificación para una relación de equivalencia E es realmente el problema de encontrar una manera de describir el E-clases de equivalencia, de encontrar un E-invariante de la función que distingue a las clases.

Harvey Friedman define que una relación de equivalencia E es Borel-reducible a otra relación de F si existe un Borel función f tal que x E y si y sólo si f(x) F f(y). Es decir, la función f mapas E clases a F clases de tal manera que diferentes E clases se asignan a diferentes F clases. Esto proporciona una clasificación de la E clases mediante el uso de la F de las clases. El concepto de reducibilidad proporciona una precisa, robusta manera de decir que una relación F es al menos tan complejo como el otro E. Dos relaciones son Borel equivalente si se reduce el uno al otro, y somos llevados a la jerarquía de las relaciones de equivalencia en virtud de Borel reducibilidad. Mediante la colocación de una relación de equivalencia en esta jerarquía, llegamos a entender lo complejo que es en comparación con otros las relaciones de equivalencia. En particular, decimos que una relación de equivalencia E es estrictamente más simple de F, si E reduce a F, pero no a la inversa.

A veces ocurre que uno tiene un problema de clasificación E y es capaz de proporcionar una clasificación mediante la asignación a cada estructura de una contables lista de datos, de tal manera que dos estructuras son equivalentes si tienen los mismos datos. Esto equivale a una reducción de la E a la igualdad de relación =, por dos estructuras son equivalentes si sus datos son iguales. Tales relaciones que reducir a la igualdad se llama lisa, y quedó cerca de la parte inferior de la jerarquía de Borel las relaciones de equivalencia. Estas son las más simples de las relaciones de equivalencia. Por lo tanto, una manera de mostrar que una relación es relativamente simple, es para mostrar que es suave, y para mostrar que es relativamente duro, muestran que no es suave.

El tema de Borel de equivalencia de la relación de la teoría, como ahora desarrollado por A. Kechris, G. Hjorth, S. Thomas y muchos otros, se centra en la colocación de muchos de los naturales problemas de clasificación de las matemáticas en esta jerarquía. Algunos de los principales resultados son los siguientes interesante dicotomías:

Teorema.Plata (dicotomía) Cada Borel relación de equivalencia E tiene sólo countably muchas clases de equivalencia o = reduce a la E.

La relación E₀ dice que dos secuencias binarias son equivalentes si están de acuerdo desde algún punto en adelante. Es fácil ver que = se reduce a E₀, y un elemental argumento muestra que E₀ no se reduce a =. Por lo tanto, E₀ es estrictamente más que la igualdad. Por otra parte, es una especie de siguiente paso en la hiearchy, a la luz de los siguientes.

Teorema.(Glimm-Effros dicotomía) Cada Borel relación de equivalencia E reduce a = o E₀ se reduce a E.

El tema continúa con muchos resultados interesantes que poco a poco se iluminan más y más de la jerarquía de Borel las relaciones de equivalencia. Por ejemplo, la Feldman-Moore teorema muestra que cada Borel relación de equivalencia E cada clase de equivalencia contables de la órbita de equivalencia de una contables grupo de Borel bijections del espacio. La relación E_oo es la órbita de equivalencia de la izquierda-la acción de traducción de la libre grupo F₂ en su juego de poder. Esta relación es completa para los contables de Borel las relaciones de equivalencia, en el sentido de que cada contables de Borel de equivalencia de la relación se reduce a ella. Es una gran cosa!