Obtener la magnitud de la plaza de raíces complejas número

Question

Me gustaría obtener la magnitud de un número complejo de la forma:

$$z = \frac{1}{\sqrt{\alpha + i \beta}}$$

Por una sencilla prueba en WolframAlpha debe ser

$$\left| z \right| = \frac{1}{\sqrt[4]{\alpha^2 + \beta^2}}$$

El hecho es que si trato de cancelar la raíz en el denominador todavía tengo un molesto expresión en el numerador:

$$z = \frac{\sqrt{\alpha + i \beta}}{\alpha + i \beta}$$

Y de esta forma alternativa parece inútil demasiado:

$$z = \left( \alpha + i \beta \right)^{-\frac{1}{2}}$$

Si WolframAlpha dio el resultado correcto, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

Si convierte el número a la compleja forma exponencial, la solución es fácil.

Deje $s = \alpha + \beta i = r e^{\theta i}$,$z = s^{-\frac{1}{2}} = r^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{\theta}{2}i}$. El conjugado (escrito con una overbar) de un complejo exponencial $re^{\theta i}$ es sólo $re^{-\theta i}$, por lo que el cálculo de $z\bar{z}$ conduce a la exponencial de los términos y de cancelación de las hojas de $z\bar{z} = r^{-1}$. Ahora $r = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ necesidad $|z| = \sqrt{z\bar{z}}$.

Answer 2

Suponga $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$:

$$\left|\frac{1}{\sqrt{\alpha+i\beta}}\right|=\frac{\left|1\right|}{\left|\sqrt{\alpha+i\beta}\right|}=\frac{1}{\left|\left(\alpha+i\beta\right)^{\frac{1}{2}}\right|}=\frac{1}{\left|\alpha+i\beta\right|^{\frac{1}{2}}}=$$ $$\frac{1}{\left(\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\right)^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\left(\left(\alpha^2+\beta^2\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\left(\alpha^2+\beta^2\right)^{\frac{1}{4}}}=\frac{1}{\sqrt[4]{\alpha^2+\beta^2}}$$

Answer 3

$$|z|=|(\alpha+i\beta)^{-\frac{1}{2}}|=|\alpha+i\beta|^{-\frac{1}{2}}=\left(\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt[4]{\alpha^2 + \beta^2}}$$

Por cierto, tendría te defina qué entiende usted por $\sqrt{\alpha+i\beta}$ o $(\alpha+i\beta)^{-\frac{1}{2}}$ porque no se $2$ números complejos satisfacer $z^2=\alpha+i\beta$. Tienen el mismo módulo, pero todavía. Una vez que dio sentido a eso, usted puede mostrar la propiedad en el módulo que he utilizado.

Answer 4

La raíz cuadrada de un número complejo no está bien definida; sin embargo, si consideramos un número complejo $z$ tal que $z^2=w$, luego $$ |w|=|z^2|=|z|^2 $$ así $$ |z|=\sqrt{|c|} $$ (y esto está bien definido, ya que estamos hablando de los números reales no negativos).

Su situación es exactamente este, con una ligera complicación. Sin embargo, desde $$ |w^{-1}|=|w|^{-1} $$ para cualquier $w\ne0$, usted sabe que, cuando se $w=\alpha+i\beta$ $z^2=w^{-1}$ que $$ |z|=\sqrt{|w^{-1}|}=\sqrt{|w|^{-1}}=\frac{1}{\sqrt{|c|}} $$ por los argumentos expuestos anteriormente. Así $$ |z|=\frac{1}{\sqrt{|c|}}=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}} =\frac{1}{\sqrt[4]{\alpha^2+\beta^2}} $$

Answer 5

También se puede decir: $$\alpha +\beta i=re^{i\theta },$$ para algunos $r$$\theta$. Esto significa que $$\frac{1}{\sqrt {\alpha +\beta i}}=\left (re^{i\theta} \right)^{-\frac 12}$$ has magnitude $r^{-\frac12}$, where $r$ is the magnitude of $\alpha +\beta$. Esto significa $$r^{-\frac12} =\left(\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\,\,\right)^{-\frac12}=\frac 1 {\sqrt[4]{\alpha^2+\beta^2}}.$$