Mi amigo me ha pedido para ayudar a resolver la siguiente ecuación diferencial (de los cuales las soluciones explícitas son supuestamente derivable):
$$\frac{dy}{dx}=\frac{4x+y}{x+4y}\tag{1}$$
He intentado golpearlo con todas las técnicas que conozco, pero ninguno de mis esfuerzos han dado resultados. Podría usted ayudarme? Todo lo que puedo es un complicado implícito solución. Ahora voy a delinear cada acercamiento que he tomado. (Nota: he etiquetado cada ecuación para hacer referencia a la conveniencia).
[Homogénea De Sustitución]
Esta ecuación es manifiestamente homogénea cuando se pone en la forma siguiente:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{4+\frac{y}{x}}{1+4\frac{y}{x}}\tag{2}$$
Así que vamos a intentar la sustitución de $u=y/x$. Podemos trabajar que a $y'=xu'+u$, por lo que enchufar todo lo que nos da:
$$xu'+u=\frac{4+u}{1+4u}\tag{3}$$
$$\implies \frac{u'}{\frac{4+u}{1+4u}-u}=\frac{1}{x}\tag{4}$$
Puedo resolver esto a través de la integración de ambos lados con respecto a $x$ (lado izquierdo requiere mucha algebraica de masaje):
$$\ln \left|(1-u)^{-5/8}(1+u)^{-3/8}\right|=\ln |x| +C\tag{5}$$
Después de volver a la sustitución de $u=y/x$, esto simplifica hacia abajo para
$$(x-y)^5(x+y)^3=C\tag{6}$$
Así, la solución parece ser la solución a un ocho polinomiales de orden, que no estoy seguro de que puede ser resuelto de forma explícita (bueno, debe ser porque ¿por qué iba a aparecer en una entrada de nivel de DFQ de la tarea?). En la parte superior de que, a un par de pasos previos que implícitamente han impuesto restricciones de dominio sobre mi solución (por ejemplo, cada paso donde debo dividir por una cantidad que podría ser cero). He representado la solución de abajo, de donde he tomado nota de la homogeneidad de la ecuación original (en el caso de que $C=0$ es especial, aunque luego las soluciones son sólo $y=\pm x$).
[Factor De Integración - Ecuación Exacta]
Ok, tal vez la forma exacta de la solución está enterrado en ese polinomio. Vamos a ver si esto puede ser hecho exacto. Ponerlo en el formulario estándar nos da:
$$f(x,y)dx+g(x,y)dy=0,$$
$$~~\textrm{where}~ f(x,y)=(4x+y)~~\textrm{and}~~ g(x,y)=-(x+4y)\tag{7}$$
Esto no es una ecuación exacta de por sí ($f_y\neq g_x$). Por otra parte, ningún factor de integración de una variable ($x$ o $y$) funcionará, ya que el cálculo del factor de integración implica el cálculo de una integral como:
$$\int \frac{\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial g}{\partial x}}{g(x,y)}dx\tag{8}$$
y nosotros no podemos hacer eso integral explícitamente debido a que el numerador es una constante específica de la $f(x,y)$ $g(x,y)$ en este problema, mientras que el denominador es una función completa de $x$$y$. Así que este parece ser el no va más.
[Laplace/D'Alembert Forma De Ecuación]
[Laplace o de d'Alembert ecuación][2] (no, no el de Laplace de la ecuación o de d'Alembert de la solución o fórmula) es de primer orden de la ecuación diferencial ordinaria de la tipo
$$y=xf(y')+g(y')\tag{9}$$
que puede ser transformado en el más simple ecuación lineal:
$$\frac{dx}{d(y')}=\left(\frac{f'(y')}{y'-f(y')}\right)x+\frac{g'(y')}{y'-f(y')}\tag{10}$$
He descubierto que puedo manipular el original de la ecuación diferencial en la forma deseada:
$$y=\left(\frac{y'-4}{1-4y'}\right)x\tag{11}$$
a partir de la cual podemos leer (bueno, calcular realmente) la correspondiente ecuación diferencial para $x(y')$:
$$\frac{dx}{d(y')}=-\frac{15x}{4(1-y'^2)(1-4y')}\tag{12}$$
Este es separable. La solución de esto me da:
$$\ln \left|\frac{(1-y')^{5/8}(1+y')^{3/8}}{4y'-1}\right|=\ln |x| +C\tag{13}$$
este parece ser el más altamente no lineales y la implícita ecuación diferencial de primer orden que he visto nunca. Yo no sé lo que realmente podría hacer desde aquí.
~~ANEXO~~
Estas son las instrucciones exactas de la asignación
$$\textrm{1. Find all solutions:}~~~~\frac{dy}{dx}=\frac{4x+y}{x+4y} $$
https://en.wikibooks.org/wiki/Ordinary_Differential_Equations/d%27Alembert
