¿Por qué P(HH) se diferencian a partir de P(T)?

Question

Supongamos que siguen lanzando una moneda hasta obtener dos días consecutivos de cabeza o de la cola y luego inmediatamente a la cabeza siguientes. ¿Por qué son estos dos patrones que no son igualmente probables? Pensé que eran desde la moneda es justo...

Debo modelo de este problema utilizando una distribución geométrica o alguna otra distribución? Tal vez debería pensar en términos de la probabilidad condicional?

Answer 1

Si el primer lanzamiento sale de la cola, que está seguro de conseguir TH antes de llegar HH. Si el primer lanzamiento sale de la cabeza, sin embargo, usted todavía puede obtener TH antes de llegar HH. Por lo tanto, la probabilidad de obtener TH primero es mayor que $\frac12$. (Estoy asumiendo una moneda.)

Agregado: Este responde a la pregunta original, pero el razonamiento se puede ampliar para obtener un resultado numérico. Si usted recibe una T antes de llegar HH, usted está seguro de conseguir TH antes de HH. Por lo tanto, la única manera de conseguir HH primero es conseguir que antes de tirar incluso una T, que significa que en los dos primeros lanzamientos. Que ocurre con una probabilidad de $\frac14$, por lo que la probabilidad de obtener TH primera debe ser $\frac34$. (El único resultado de que los resultados de nunca llegar HH o de la TH es una infinita cadena de colas, que tiene probabilidad de $0$.)

Answer 2

Si usted tiene una carrera de duración $n\ge 2$ en los que ni HH ni TH se ha producido, entonces es HTTTT...T (la longitud de la $n$) o es TTT...T. (longitud de $n$). Ambas tienen la misma probabilidad. A continuación, en el $(n+1)^{st}$ flip desea obtener cualquiera de los HH o de la TH. Pero usted no puede conseguir los HH ya que hasta el momento se termina en T. por Lo que se ve como en todos los casos donde no se han detenido por $n \ge 2$ la primera vez que usted es uno de ellos, es TH. Usted puede detener con HH sólo en los dos primeros lanzamientos. Así que con una probabilidad de 1/4 de final con el HH en flip dos y en el resto de 3/4 de la probabilidad de dejar con TH.

Answer 3

Brian Scott respuesta es buena. He aquí otro punto de vista. Primero, considere lo que sucede en los primeros tres lanzamientos: \begin{array}{lll} \text{HHH} & & \text{HH first} \\ \text{HHT} & & \text{HH first} \\ \text{HTH} & & \text{TH first} \\ \text{HTT} \\ \text{THH} & & \text{TH first} \\ \text{THT} & & \text{TH first} \\ \text{TTH} & & \text{TH first} \\ \text{TTT} \end{array} En cuatro casos se obtienen $\text{TH}$ en la primera y en sólo dos consigue $\text{HH}$ primero, y en los otros dos, tienes un $50\%$ de probabilidades de padecer $\text{TH}$ sobre el próximo juicio y sin posibilidad de contraer $\text{HH}$ sobre el próximo juicio.

¿Qué pasa después de eso? Tienes un cuatro-estado de la cadena de Markov cuyos estados son $\text{HH}$, $\text{HT}$, $\text{TH}$, $\text{TT}$, y si después de $\text{TH}$ (para la primera y segunda pruebas), se obtiene una $\text{T}$, luego de que te hayas mudado a estado $\text{HT}$, (para la segunda y tercera pruebas) etc. Las probabilidades de transición no son todos iguales, pero si se quiere elevar la transición de la matriz a una potencia más alta de $1$, luego están siempre igual a $1/4$. Así que en más pasos más allá de eso, los cuatro estados son siempre igualmente probable (aunque, por supuesto, no son condicionalmente igualmente probable dados donde usted está en el inmediatamente anterior a juicio).