Explicación de por qué un abelian torre admite una cíclico refinamiento

Question

Ahora que la escuela está terminando, estoy tratando de romper hacia abajo y conseguir mejor en álgebra. Esta proposición de Lang Álgebra pierde mí al final.

Aquí está mi entendimiento tan lejos: (por Favor, discúlpame si muchas de las cosas que digo son muy obvios/mal, estoy tratando de ser detallada para mi propio entendimiento.) Si $|G|=1$, $\{e\}$ es el deseado cíclica de la torre. Así que supongamos que el resultado vale para $|G|\leq n-1$. Supongamos $|G|=n$. Dejando $G'$ ser como el anterior, $|G'|=|G|/|X|\lt|G|$, de modo que por la hipótesis de inducción, existe un cíclica de la torre en $G'$, dicen $$ G'=G/X\supset G_1'\supset G_2'\supset\cdots\supset G_m'. $$ No estoy muy seguro de lo que Lang significa por "su inversa se trata de una imagen cíclica de la torre en $G$ cuyo último elemento es $X$." Hay algunos asumido homomorphism $f\colon G\to G'$, y luego la inversa de la imagen de la torre sería $$ f^{-1}(G')\supset f^{-1}(G_1')\supset\cdots\supset f^{-1}(G_m')? $$ ¿Por qué es el último elemento de la torre de $X$, como Lang reclamaciones? También, Lang dice normal de la torre es cíclico si cada factor grupo $G_i/G_{i+1}$ en la torre es cíclico. ¿Significa esto que todos los $G_i$ sí, son cíclicos, o es posible que el factor grupo a ser cíclico, pero el normal subgrupo de ser el último no? Gracias por la explicación.

Answer 1

La supuesta homomorphism $G\rightarrow G'=G/X$ es el cociente mapa: $g\mapsto gX$. Uno de los teoremas de isomorfismo dice que este mapa se establece un bijection entre los subgrupos de $G/X$ y subgrupos de $G$ que contengan $X$. Por otra parte, este bijection conserva inclusiones, de la normalidad, y cocientes. En otras palabras, si $\bar{U}$ es un subgrupo de $G'$ con los subgrupos $\bar{U}'$, y si los correspondientes subgrupos de $G$$U$$U'$,$U'\leq U$, es lo normal en $U$ si y sólo si $\bar{U}'$ es normal en $\bar{U}$, y si lo son, entonces $\bar{U}/\bar{U}'\cong U/U'$. Todo esto es fácil de demostrar, y Lang es el uso de todo esto en su prueba.

El subgrupo de $G$ correspondiente al subgrupo trivial de $G'$ es, de hecho, $X$ - el más pequeño subgrupo de $G$ contiene $X$.

Como para la última pregunta, significa exactamente lo que dice: todo factor de grupos cíclicos. No tendría sentido introducir esta noción de si era simplemente una reformulación de la "$G$ es cíclica". E. g. $1\leq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ es un cíclica de la torre donde el término no es cíclico.