No ha obtenido respuesta pero he pensado que puede ser un enfoque para este tipo de preguntas. Así que me decidí a publicar.
Vamos a definir
$$f_n(x)=nx^{(n+1)x^{(n+2)x^{(n+3)x^{(n+4)x^{(n+5)x^{(n+6)x^{.{^{.^{.}}}}}}}}}}$$
Su función puede ser encontrado por
$$f_1(x)=f(x)$$ y usted está buscando
$$\frac {\partial f_n(x)}{\partial x} |_{n=1}=f'(x)$$
Fácilmente podemos ver una relación de $f_n(x)$
$$f_n(x)=nx^{f_{n+1}(x)}$$
$$\ln(f_n(x))=ln(n) +f_{n+1}(x)\ln(x)$$
$$\frac {\partial \ln(f_n(x))}{\partial x}=\frac {\partial (f_{n+1}(x)\ln(x))}{\partial x}$$
$$\frac {\partial \ln(f_n(x))}{\partial x}=\frac {\partial (f_{n+1}(x)\ln(x))}{\partial x}$$
$$\frac{\partial f_n(x)}{\partial x} = f_n(x) \frac{\partial f_{n+1}(x)}{\partial x}\ln(x)+\frac {f_{n+1}(x)f_n(x)}{x}$$
----Vamos a poner $n=1,2,3,....$
$$\frac{\partial f_1(x)}{\partial x}= \frac{\partial f_{2}(x)}{\partial x}f_1(x)\ln(x)+\frac {f_{2}(x)f_1(x)}{x}$$
$$\frac{\partial f_2(x)}{\partial x} = \frac{\partial f_{3}(x)}{\partial x}f_2(x)\ln(x)+\frac {f_{3}(x)f_2(x)}{x}$$
$$\frac{\partial f_3(x)}{\partial x} = \frac{\partial f_{4}(x)}{\partial x}f_3(x)\ln(x)+\frac {f_{4}(x)f_3(x)}{x}$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
$$\frac{\partial f_1(x)}{\partial x} = U(x)+\frac {f_{1}(x)f_2(x)}{x}+\frac {f_{1}(x)f_2(x)f_3(x) \ln(x) }{x}+\frac {f_{1}(x)f_2(x)f_3(x) f_4(x) \ln^2(x) }{x}+.... \etiqueta{1}$$
Donde
$$U(x)=\lim\limits_{ n\to \infty } \frac{\partial f_n(x)}{\partial x} \ln^n(x)\prod_{k=1}^{n-1} f_n(x) $$
Finalmente, podemos expresar la derivada como
$$f'(x)=\frac{\partial f_1(x)}{\partial x} = U(x)+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\ln^{k-1}(x)f_1(x)\prod_{n=2}^{k+1} f_n(x)}{x}$$
Nota: Todavía no he encontrado lo que $U(x)$ es. Estimo que $U(x)$ desaparecerán, pero no he probado todavía. Tal vez alguien pueda ayudar con unos valores numéricos que si $U(x)=0$ o no. Muchas gracias por los aportes y consejos
Una observación :
Me di cuenta de un patrón similar con la fórmula general $g'(x)$ en la pregunta y $f'(x)$ que escribí en (1).
$$g(x)=h(x)^{h(x)^{h(x)^{h(x)^{h(x)^{h(x)^{h(x)^{.{^{.^{.}}}}}}}}}}$$
$$g'(x)=\frac{g^2(x)h'(x)}{h(x)\left[1-g(x)\ln(h(x))\right]}=$$
Se puede reescribirse como
$$g'(x)=\frac{g^2(x)h'(x)}{h(x)}(1+g(x)\ln(h(x))+g^2(x)\ln^2(h(x))+g^3(x)\ln^3(h(x))+....)$$
Si $h(x)=x$ entonces podemos obtener
$$g'(x)=\frac{g^2(x)}{x\left[1-g(x)\ln(x)\right]}=$$
$$g'(x)=\frac{g^2(x)}{x}(1+g(x)\ln(x)+g^2(x)\ln^2(x)+g^3(x)\ln^3(x)+....)$$
$$g'(x)=\frac{g^2(x)}{x}+\frac{g^3(x)}{x}\ln(x)+\frac{g^4(x)}{x}\ln^2(x)+....$$
Tiene similitudes con mi fórmula para $f'(x)$ que he escrito arriba. Este resultado apoya mi idea de que $U(x)$ pueden desaparecer.
