35 votos

Cuál es la derivada de: $f (x) = x ^ {2 x ^ {3 x ^ {4 x ^ {5 x ^ {6 x ^ {7 x ^ {. {} ^{.^{.}}}}}}}}}} $?

Se me ocurrió reflexionar acerca de la diferenciación de la siguiente función: $$f(x)=x^{2x^{3x^{4x^{5x^{6x^{7x^{.{^{.^{.}}}}}}}}}}$$ Ahora, mientras que yo no saben cómo manipular las torres de energía en cierta medida, y saber la fórmula general para diferenciar $g(x)$ wrt $x$, donde $$g(x)=f(x)^{f(x)^{f(x)^{f(x)^{f(x)^{f(x)^{f(x)^{.{^{.^{.}}}}}}}}}}$$ Todavía soy incapaz de averiguar cómo puedo manipular adecuadamente la función de diferenciar dentro de su dominio de convergencia.


La fórmula General: $$g'(x)=\frac{g^2(x)f'(x)}{f(x)\left[1-g(x)\ln(f(x))\right]}$$

7voto

Priyank Puntos 159

No ha obtenido respuesta pero he pensado que puede ser un enfoque para este tipo de preguntas. Así que me decidí a publicar. Vamos a definir

$$f_n(x)=nx^{(n+1)x^{(n+2)x^{(n+3)x^{(n+4)x^{(n+5)x^{(n+6)x^{.{^{.^{.}}}}}}}}}}$$

Su función puede ser encontrado por $$f_1(x)=f(x)$$ y usted está buscando $$\frac {\partial f_n(x)}{\partial x} |_{n=1}=f'(x)$$

Fácilmente podemos ver una relación de $f_n(x)$ $$f_n(x)=nx^{f_{n+1}(x)}$$ $$\ln(f_n(x))=ln(n) +f_{n+1}(x)\ln(x)$$

$$\frac {\partial \ln(f_n(x))}{\partial x}=\frac {\partial (f_{n+1}(x)\ln(x))}{\partial x}$$

$$\frac {\partial \ln(f_n(x))}{\partial x}=\frac {\partial (f_{n+1}(x)\ln(x))}{\partial x}$$

$$\frac{\partial f_n(x)}{\partial x} = f_n(x) \frac{\partial f_{n+1}(x)}{\partial x}\ln(x)+\frac {f_{n+1}(x)f_n(x)}{x}$$

----Vamos a poner $n=1,2,3,....$

$$\frac{\partial f_1(x)}{\partial x}= \frac{\partial f_{2}(x)}{\partial x}f_1(x)\ln(x)+\frac {f_{2}(x)f_1(x)}{x}$$

$$\frac{\partial f_2(x)}{\partial x} = \frac{\partial f_{3}(x)}{\partial x}f_2(x)\ln(x)+\frac {f_{3}(x)f_2(x)}{x}$$

$$\frac{\partial f_3(x)}{\partial x} = \frac{\partial f_{4}(x)}{\partial x}f_3(x)\ln(x)+\frac {f_{4}(x)f_3(x)}{x}$$

$$.$$ $$.$$ $$.$$

$$\frac{\partial f_1(x)}{\partial x} = U(x)+\frac {f_{1}(x)f_2(x)}{x}+\frac {f_{1}(x)f_2(x)f_3(x) \ln(x) }{x}+\frac {f_{1}(x)f_2(x)f_3(x) f_4(x) \ln^2(x) }{x}+.... \etiqueta{1}$$

Donde $$U(x)=\lim\limits_{ n\to \infty } \frac{\partial f_n(x)}{\partial x} \ln^n(x)\prod_{k=1}^{n-1} f_n(x) $$

Finalmente, podemos expresar la derivada como

$$f'(x)=\frac{\partial f_1(x)}{\partial x} = U(x)+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\ln^{k-1}(x)f_1(x)\prod_{n=2}^{k+1} f_n(x)}{x}$$

Nota: Todavía no he encontrado lo que $U(x)$ es. Estimo que $U(x)$ desaparecerán, pero no he probado todavía. Tal vez alguien pueda ayudar con unos valores numéricos que si $U(x)=0$ o no. Muchas gracias por los aportes y consejos

Una observación : Me di cuenta de un patrón similar con la fórmula general $g'(x)$ en la pregunta y $f'(x)$ que escribí en (1). $$g(x)=h(x)^{h(x)^{h(x)^{h(x)^{h(x)^{h(x)^{h(x)^{.{^{.^{.}}}}}}}}}}$$ $$g'(x)=\frac{g^2(x)h'(x)}{h(x)\left[1-g(x)\ln(h(x))\right]}=$$

Se puede reescribirse como

$$g'(x)=\frac{g^2(x)h'(x)}{h(x)}(1+g(x)\ln(h(x))+g^2(x)\ln^2(h(x))+g^3(x)\ln^3(h(x))+....)$$

Si $h(x)=x$ entonces podemos obtener

$$g'(x)=\frac{g^2(x)}{x\left[1-g(x)\ln(x)\right]}=$$ $$g'(x)=\frac{g^2(x)}{x}(1+g(x)\ln(x)+g^2(x)\ln^2(x)+g^3(x)\ln^3(x)+....)$$ $$g'(x)=\frac{g^2(x)}{x}+\frac{g^3(x)}{x}\ln(x)+\frac{g^4(x)}{x}\ln^2(x)+....$$

Tiene similitudes con mi fórmula para $f'(x)$ que he escrito arriba. Este resultado apoya mi idea de que $U(x)$ pueden desaparecer.

6voto

Brevan Ellefsen Puntos 3175

Respuesta Parcial / Observación
Así que está claro que esta función puede ser definida por $f(0)$ y $f(1)$, y es, sin duda definido sólo en alguna parte de este dominio... en consecuencia, elegí para evaluar qué sucede con $0.5$ a medida que aumente la altura de la torre. Numéricamente, parece que los dos límites se acercó, uno para la misma altura y otro para las impares alturas (esta es la naturaleza de torres de energía evaluó entre $0$ y $1$ para cualquier que he calculado... es probable que haya una prueba de esto en alguna parte, al menos para cualquier secuencia de alturas que alcanzan algunos límite). Independientemente de ello, parece que la función es simplemente periódico entre estos dos límites, y yo diría que este debe contener como siga aumentando la altura de la torre. Ahora, esto no es una prueba en cualquier sentido, (incluso por el valor de $0.5$), como el análisis numérico por sí sola no cortar este, pero creo que ofrece una visión interesante, y es la única cosa que me puso a cualquier tipo de resultado, después de horas de búsqueda en esto. (Tenga en cuenta que yo no soy de referencia iterado de funciones con el superíndice, pero la altura de la torre.) Como se señaló en los comentarios, esta función es, probablemente sólo se define en una cantidad finita de puntos... podría encontrar una manera de mostrar que un punto como $0.5$ diverge mediante el análisis de la propiedad que hace que este doble límite (estoy bastante seguro de que es debido a que el dominio de $[0,1]$), pero no estoy seguro de que tales observaciones, sería suficiente para demostrar esto a través de todo el dominio. $$f^1(0.5) \aprox x = 0.5$$ $$f^2(0.5)\aprox x^{2x} = 0.5$$ $$f^3(0.5)\aprox x^{2x^{3x}} = de 0,612...$$ $$f^4(0.5)\aprox x^{2x^{3x^{4x}}} = 0.439...$$ $$f^5(0.5)\aprox 0.679...$$ $$f^6(0.5)\aprox 0.374...$$ $$f^9(0.5)\aprox 0.804...$$ $$f^{10}(0.5)\aprox 0.305...$$ $$f^{14}(0.5)\aprox 0.3040559...$$ $$f^{18}(0.5)\aprox 0.3040557...$$ $$f^{15}(0.5)\aprox 0.81045144...$$ $$f^{19}(0.5)\aprox 0.81045145968867...$$ $$f^{23}(0.5)\aprox 0.81045145968869...$$

6voto

Shabaz Puntos 403

Nota: El siguiente se aplica a una función diferente de la OP intención. Yo estaba estudiando $$f(x)=f(x)=x^{(2x)^{(3x)^{(4x)^{(5x)^{(6x)^{(7x)^{.{^{.^{.}}}}}}}}}}$$ pero no quiero borrar este.

Antes de que nos preocupemos derivados, tenemos que encontrar donde la función está definida y continua. $f(x)$ tiene que ser visto como el límite de la secuencia de $x, x^{2x},x^{(2x)^{(3x)}}\dots $ Si $x \gt 1$ esta claramente diverge a infinito, si $x=0$ es indefinido. Podría llegar a ser definido en algunos enteros negativos, pero no se definen en otras negativo de $x$, por lo que podemos concentrarnos en $0 \lt x \le 1$. Si $x=1$, la secuencia es de solo $1$ más y más poderes, por lo que $f(1)=1$. Si $\frac 12 \lt x \lt 1$ la secuencia es un número menor que $1$ más y más poderes, por lo que el límite es $0$. Si $x=\frac 12,$ la secuencia es de $\frac 12$ ($1$ más y más poderes), por lo que $f(\frac 12)=\frac 12$. Si $\frac 13 \lt x \lt \frac 12,$ tenemos $2x \lt 1$, entonces $x^{(2x)^{\text { montón }}}$ va $0$. En general, si $x = \frac 1k$ acabamos de evaluar hasta $(k-1)x$. Si $\frac 1{k+1} \lt x \lt \frac 1k$ evaluamos hasta $(k-2)x$, por los poderes de $kx$ pondrá a cero, por lo que los poderes de $(k-1)x$ ir $1$. Resumiendo $$f(x)=\begin {casos} 1&x=1\\0&\frac 12 \lt x \lt 1\\\frac 12 y x=\frac 12\\1&\frac 13 \lt x \lt \frac 12\\ \frac 13^{\frac 23} &x=\frac 13 \\x&\frac 14 \lt x \lt \frac 13 \\\text {torre a }(k-1)x y x=\frac 1k\\\text{torre a }(k-2)x&\frac 1{(k+1)x} \lt x \lt \frac 1k\end {casos}$$

Ahora es claro que $f(x)$ es derivable en todos los puntos en $(0,1)$ que no son de la forma $\frac 1k$ pero la derivada será un proceso muy complicado como $x$ se vuelve pequeña.

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