Dividir los campos

Question

Este es un problema del libro de Hungerford:

Dejemos que $E$ sea un campo intermedio de extensión $K\subset F$ y asumir que $E=K(u_1, \cdots ,u_r)$ donde $u_i$ son (algunas de las) raíces de $f\in K[x]$ . Entonces $F$ es un campo de división de $f$ en $K$ si y sólo si $F$ es un campo de división de $f$ sobre E.

Este es mi intento.

Dejemos que $u_1, \cdots ,v_n$ sean las raíces de $f$ . Entonces, como $F$ es un campo de división de $f$ en $K$ , $F=K(v_1, \cdots ,v_n)$ $\implies$ $F=E(v_1, \cdots ,v_n)$ . Así que $F$ es un campo de división de $f$ en $E$ .

Por el contrario, supongamos que $v_1, \cdots ,v_n$ son las raíces de $f$ en $F$ . Entonces $F=E(v_1, \cdots ,v_n)=K(u_1, \cdots ,u_r,v_1, \cdots, v_n)$ . Así, $F$ es un campo de división de $f$ en $K$ .

Mi pregunta: Primero quiero saber si la prueba anterior es correcta. La segunda parte del problema pide que se extienda lo anterior a los campos de división de arbitraria conjunto de polinomios . Aquí es donde me pierdo. Me gustaría un poco de ayuda sobre cómo empezar.
Gracias.

Actualización: Creo que ya lo tengo. Tuve algunas dificultades con la indexación. Gracias.

Answer 1

$\left(\implies\right)$ Dejemos que $v_{1},\cdots,v_{n}$ sean las raíces de $f$ en $F$ . Desde $F$ es un campo de división de $f$ en $K$ , $F=K\left(v_{1,}\cdots,v_{n}\right)$ lo que implica que $F=E\left(v_{1},\cdots,v_{n}\right)$ . Así que $F$ es un campo de división de $f$ en $E$ .

$\left(\Longleftarrow\right)$ Supongamos que $v_{1},\cdots,v_{n}$ son las raíces de $f$ en $F$ . Entonces $F=E\left(v_{1},\cdots,v_{n}\right)$ . Pero cada $u_{i}$ es una de las $v_{j}$ Así que $F=E\left(v_{1},\cdots,v_{r}\right)=K\left(u_{1},\cdots,u_{r},v_{1},\cdots,v_{n}\right)$ .

Así, $F$ es un campo de división de $f$ en $K$ .