Demostrar que $\lfloor \sqrt{p} \rfloor + \lfloor \sqrt{2p} \rfloor +...+ \lfloor \sqrt{\frac{p-1}{4}p} \rfloor = \frac{p^2 - 1}{12}$

Question

Problema
Demostrar que $\lfloor \sqrt{p} \rfloor + \lfloor \sqrt{2p} \rfloor +...+ \lfloor \sqrt{\frac{p-1}{4}p} \rfloor = \dfrac{p^2 - 1}{12}$ donde $p$ primo tal que $p \equiv 1 \pmod{4}$ .

¡Realmente no tengo ni idea de cómo empezar :(! La parte de la raíz cuadrada me ha liado mucho. ¿Alguien puede darme una pista?

Gracias

Answer 1

La suma $S(p)$ cuenta los puntos de la red con coordenadas positivas bajo $y=\sqrt{px}$ de $x=1$ a $x=\frac{p-1}{4}$ . En lugar de contar los puntos por debajo de la parábola, podemos contar los puntos de la red en la parábola y por encima de la parábola, y restarlos del número total de puntos de la red en una caja. Detente aquí si sólo quieres una pista.

Desde $p$ es primo, no hay puntos de la red en esa parábola (con ese rango de $x$ valores).

El número total de puntos de la red en la caja $1 \le x \le \frac{p-1}4, 1\le y \le \frac {p-1}2$ es $\frac{(p-1)^2}8$ .

Los puntos de la red por encima de la parábola están a la izquierda de la parábola. Se cuentan por $T(p)= \lfloor 1^2/p \rfloor + \lfloor 2^2/p \rfloor + ... + \lfloor (\frac{p-1}2)^2/p \rfloor$ .

$T(p)+S(p) = \frac{(p-1)^2}8$ Así que $S = \frac {p^2-1}{12}$ equivale a $T(p) = \frac{(p-1)(p-5)}{24}$ .

Considere $T(p)$ sin la función del suelo. Esta suma es elemental:

$$\sum_{i=1}^{(p-1)/2} \frac{i^2}p = \frac 1p \sum_{i=1}^{(p-1)/2} i^2 = \frac 1p \frac 16 (\frac{p-1}2)(\frac {p-1}2 + 1)(2\frac{p-1}2 +1) = (p^2-1)/24.$$

¿Cuál es la diferencia entre ellos? Abuso de la notación mod, $\frac{i^2}p - \lfloor \frac{i^2}p \rfloor = 1/p \times (i^2 \mod p)$ . Así que,

$$(p^2-1)/24 - T(p) = \sum_{i=1}^{(p-1)/2} \frac{i^2}p - \lfloor \frac{i^2}p \rfloor = \sum_{i=1}^{(p-1)/2} \frac 1p \times (i^2 \mod p) = \frac 1p \sum_{i=1}^{(p-1)/2} (i^2 \mod p).$$

Desde $i^2 = (-i)^2$ esta última suma es sobre los residuos cuadráticos no nulos. Como $p$ es $1 \mod 4$ , $-1$ es un residuo cuadrático, por lo que si $a$ es un residuo cuadrático no nulo, entonces también lo es $p-a$ . Así, los residuos cuadráticos no nulos tienen un valor medio $p/2$ y la suma es $\frac{(p-1)}2 \frac p2$ .

$$(p^2-1)/24 - T(p) = \frac 1p \frac{(p-1)}2 \frac p2 = \frac{p-1}4$$ $$T(p) = \frac{(p-1)(p-5)}{24}.$$

Eso era lo que teníamos que mostrar.