La desigualdad con cuatro enteros positivos buscando límite superior

Question

Umm. Esto viene de Diophantine ecuación de cuarto grado en cuatro variables y acabado de la parte más importante si se puede hacer.

Cuatro enteros positivos $w,x,y,z.$ Una ecuación y dos desigualdades $$ wxyz = (w+x+y+z)^2, $$ $$ w \geq x \geq y \geq z \geq 1, $$ $$ xyz \geq 2(w+x+y+z). $$

I am hoping for an upper bound. Since i made $w$ biggest, it would be an UPPER BOUND on $w.$ For example, I am running a computer program to find all such quadruples with $w \leq 1000.$

Sample question: is it true that $w \leq 1000?$

This is the method of Hurwitz 1907. I have a pdf. His techniques are almost right for this problem, to the point where i am already convinced that the answer to the question by hardmath comes out the exact same way.

EDIT, these imply easily that $$\color{green}{ x+y+z \geq w}. $$ Podría ser útil.

EDIT: casi lo olvido, estos son lo que yo creo que a todos cuádruples:

w  x  y  z     xyz  2(w+x+y+z)
4  4  4  4      64     32
6  6  3  3      52     36
8  5  5  2      50     40
10  10  9  1    90     60
12  6  4  2     48     48   
15  10  3  2    60     60   
18  9  8  1     72     72   
21  14  6  1    84     84   
30  24  5  1   120    120   

Answer 1

De hecho, uno puede obtener una cota superior y resolver esta ecuación en la forma general. La forma más barata es para denotar $x+y+z=\alpha w$ y tenga en cuenta que $\alpha\le 3.$ Conectar esta en nuestras ecuaciones tenemos:

$$xyz=(\alpha+1)^2w$$ y $$xyz\ge 2(\alpha+1)w.$$ La combinación de este último, llegamos $\alpha\ge 1.$ Recordemos que $x+y+z=\alpha w,$, por lo que $$\frac{xyz}{x+y+z}=\frac{(\alpha+1)^2}{\alpha}\le 3+\frac{1}{3}+2=\frac{16}{3},$$ al$1\le \alpha\le 3.$, por Lo que hemos enlazado $xyz\le \frac{16}{3}(x+y+z)\le \frac{16}{3}(x+x+x)=16x.$$yz\le 16.$, Uno puede entonces proceder y encontrar todas las soluciones.