¿Por qué es $f:\mathbb{R} \to S^1, f(t)=(\cos(2\pi t), \sin(2\pi t))$ no se cierra?

Question

Estoy estudiando intro. a la topología.

Tengo la siguiente función: tenemos a espacios topológicos, $\mathbb{R}$ con el estándar de la topología y de la $S^1$ con la topología de subespacio de $\mathbb{R}^2$. Se me pide que muestran que el mapa de $f:\mathbb{R} \to S^1, f(t)=(\cos(2\pi t), \sin(2\pi t))$, no está cerrado.

De hecho a mí me parece que está cerrado, yo creo que cada conjunto cerrado en $\mathbb{R}$ es asignado a una parte de el círculo cerrado de la línea o a la de todo el círculo.

Donde estoy equivocado?

Answer 1

Consideremos el conjunto a $A=\left\{n+\frac1n:n\in\mathbb N, n\neq1\right\}\subseteq \mathbb R$.

Es un subconjunto cerrado de $\mathbb R$ pero $f(A)$ no está cerrado en $S^1$.

Answer 2

Aquí es un muy mal comportamiento contraejemplo, aunque P..'uno es sin duda la mejor manera de responder a la pregunta.

Tome $\alpha $ irracional. A continuación, $\alpha\mathbb{Z}$ es cerrado y discreto, pero $\alpha\mathbb{Z}+\mathbb{Z}$ es denso en $\mathbb{R}$. Ahora $$ f(\alpha\mathbb{Z})=f(\alpha\mathbb{Z}+\mathbb{Z}) $$ es denso en $S^1$, pero ciertamente no es el todo de $S^1$.

Nota: cualquier ejemplo que usted elija, esto muestra que el cociente mapa no tiene que ser cerrado. Aquí $q:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}/\mathbb{Z}$.