Encontrar la suma de $-1^2-2^2+3^2+4^2-5^2-6^2+\cdots$

Question

Encontrar la suma de $$\sum_{k=1}^{4n}(-1)^{\frac{k(k+1)}{2}}k^2$$

Por la expansión de los dadas suma,

$$\sum_{k=1}^{4n}(-1)^{\frac{k(k+1)}{2}}k^2=-1^2-2^2+3^2+4^2-5^2-6^2+\cdots+(4n-1)^2+(4n)^2$$ $$=(3^2-1^2)+(4^2-2^2)+(7^2-5^2)+(8^2-6^2)+\cdots+[(4n-1)^2-(4n-3)^2]+((4n)^2-(4n-2)^2)$$ $$=2(4)+2(6)+2(12)+2(14)+2(20)+2(22)+\cdots+2(8n-4)+2(8n-2)$$ $$=2[4+6+12+14+20+22+\cdots+(8n-4)+(8n-2)]$$ ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

SUGERENCIA: Divida su última suma en la suma de dos progresiones aritméticas, cada uno de longitud $n$.

Una alternativa es calcular un par de valores de la suma, supongo que de una forma cerrada, y luego demostrar que la forma cerrada. Para $n=1,2,3$ la suma en cuestión es $20,72,156$, respectivamente. Tenga en cuenta que $20=4\cdot5$, $72=8\cdot9$, y $156=12\cdot 13$.

Answer 2

Sugerencia: con la excepción de $-1^2$ hacer pares de otros términos: $$-1^2+(-2^2+3^2)+(4^2-5^2)+(-6^2+7^2)+....$$ and then proceed further to get $-1^2+2+3+4+5+6+...$ y de resolver para obtener el resultado

Answer 3

$ =2[4+6+12+14+20+22+\cdots+(8n-4)+(8n-2)] \\ = 4[(2+3)+(6+7)+(10+11)+\cdots+(8n-3)] \\ = 4[5+13+21+\cdots+(8n-3)] \\ = 4 \sum_{k=1}^n (8k-3) \\ = 4 (4n^2+n) \\ = 16n^2+4n $

Answer 4

Sabemos que $$\begin{align*}1+2+3+...+(4n+1)&=\frac{(4n+1) \cdot (4n+2)}{2}\\&=(2n+1)(4n+1)\end{align*}$$ Por eso, $$\begin{align*}&2+3+(2+2)+(3+2)+6+7+...+(4n-2)+(4n-1)+(4n-2+2)+(4n-1+2)=(2n+1)(4n+1)-1 \\&\implies 2(2+3+...(4n-1))+2n \cdot 2=(2n+1)(4n+1)-1 \\&\implies 2(4+6+6+7+...+(8n-2))=2((2n+1)(4n+1)-4n-1)\\&=16n^2+4n\\&=\fbox{4n(4n+1)}\end{align*}$$

Esto es lo que usted necesita.

Answer 5

En la última línea de lo que hemos encerrado en rectangular de llaves, es decir,$S$, puede ser reorganizado como sigue

\begin{align*} S&=(1+3)+(2+4)+(5+7)+(6+8)+(9+11)+(10+12)+\cdots+[(4n-3)+(4n-1)]+[(4n-2)+4n]\\ &=\sum_{j=1}^{4n}j\\[3pt] &=\frac{4n(4n+1)}{2}\\[3pt] &=\boxed{\color{blue}{2n(4n+1)}} \end{align*}