Si $H$ es un subgrupo cíclico de $G$ y $H$ es normal en $G$ entonces todo subgrupo de $H$ es normal en $G$ .

Question

Ejercicio 11, página 45 del libro de Hungerford Álgebra .

Si $H$ es un subgrupo cíclico de $G$ y $H$ es normal en $G$ entonces cada subgrupo de $H$ es normal en $G$ .

Estoy tratando de mostrar que $a^{-1}Ka\subset K$ pero me quedé atascado. ¿Qué debo hacer ahora?

Gracias por su amable ayuda.

Answer 1

Supongamos que $H = \langle h \rangle$ es normal en $G$ y que $K$ es un subgrupo de $H$ . Cualquier subgrupo de un grupo cíclico es cíclico, por lo que $K = \langle h^d \rangle$ para algún número entero $d$ .

Dejemos que $g \in G$ . Desde $H$ es normal, $g^{-1}hg = h^i$ para algún número entero $i$ . Entonces, para cualquier número entero $k$ se obtiene $g^{-1}(h^d)^kg = (g^{-1}hg)^{dk} = (h^i)^{dk} = (h^d)^{ik}$ . Esto demuestra que para cualquier $k \in K$ el elemento $g^{-1}kg$ está en $K$ . Por lo tanto, $K$ es normal.

Answer 2

He aquí un hecho algo más general que parece bastante útil para tenerlo en cuenta:

Si $G$ es un grupo, $H$ es un subgrupo normal de $G$ y $K$ es un subgrupo característico de $H$ entonces $K$ es un subgrupo normal de $G$ .

La prueba es casi inmediata si se conocen las definiciones: para cualquier $x \in G$ ya que $H$ es normal en $G$ , conjugación por $H$ induce un automorfismo $\varphi_x$ de $H$ pero no necesariamente un automorfismo "interno": es decir, si $x \notin H$ , $\varphi_x$ no es necesario sea la conjugación por cualquier elemento de $H$ . Por lo tanto, hemos asumido que $K$ no es normal, pero característica como un subgrupo de $H$ es decir, estable bajo todos los automorfismos de $H$ . Hecho.

Para más detalles, véase por ejemplo aquí .

Como otros han señalado, también tenemos que ver que cualquier subgrupo de un grupo cíclico $H$ es característico. Pues bien, cualquier subgrupo que sea el único subgrupo de su orden es característico -- esto resuelve el caso en que $H$ es finito. Y cualquier subgrupo que sea el único subgrupo de su índice es característico -- esto se ocupa del caso en el que $H$ es infinito. (Alternativamente, si $H \cong (\mathbb{Z},+)$ el único automorfismo no trivial es la multiplicación por $-1$ que evidentemente estabiliza todos los subgrupos $n \mathbb{Z}$ .)

Answer 3

Desde $H$ es normal en $G$ se obtiene $a^{-1}Ka \subset H$ para todos $a\in G$ . Ahora utiliza el hecho de que $H$ es cíclico (sólo hay un subgrupo de $H$ tal que $\dots$ )

Answer 4

Lo intentaré. Si $H=\langle h \rangle$ entonces $H$ es un grupo abeliano y $K$ es un subgrupo normal de $H$ . Sea $d$ el menor número entero positivo tal que $h^{d}\in K$ . Entonces $K=\langle h^{d} \rangle$ y tenemos $H/K=\{K,hK,\cdots,h^{d-1}K\}$ . Sea $g\in G$ y $k=h^{dn}\in K$ . Entonces $gkg^{-1}K=(ghg^{-1})^{dn}K=K$ . Así, $gKg^{-1}\subset K$ para todos $g\in G$ .

Espero que sea correcto.

Answer 5

H es un subgrupo normal de G. dejemos que K sea un subgrupo de H. ya que H es normal implica que K es normal. ya que K es normal en H, H en G esto implica que K es normal en G.tanveer ul haq de BKUC.