La derivada $2005$-ésima de $f$ en $0$

Question

Así que intenté usar la fórmula de Leibnitz para resolver por recurrencia, pero solo pude llegar a un punto y luego volví a desordenarme. El problema es

Sea $f(x)=\frac{1}{1+2x+3x^2+\ldots+2005x^{2004}}$. Encuentra $f^{[2005]}(0)$.

Lo que hice fue darme cuenta de que $f'=-f^2g$, donde $g$ es el polinomio, e intenté expandir el resultado a derivadas de orden superior. Usando la fórmula de Leibnitz y la última expresión, obtuve

$f^{[2005]}(0)=\displaystyle\sum_{k=0}^{2004}\binom{2004}{k}\left(f^2\right)^{[k]}(0)g^{[2004-k]}(0)=\sum_{k=0}^{2004}\binom{2004}{k}\left(f^2\right)^{[k]}(0)(2004-k)! =\sum_{k=0}^{2004}\frac{2004!}{k!}\left(f^2\right)^{[k]}(0)$

Realmente apreciaría algo de ayuda aquí, por favor.

Answer 1

Aviso $$\frac{1}{f(x)} =\sum_{k=0}^{2004} (k+1)x^k = \left(\sum_{k=0}^{\infty} - \sum_{k=2005}^{\infty}\right) (k+1)x^k = \frac{1}{(1-x)^2} - 2006 x^{2005} + O(x^{2006}) $$ Tenemos $$f(x) = \frac{(1-x)^2}{1 - 2006 x^{2005} + O(x^{2006})} = (1-x)^2\left( 1 + 2006 x^{2005} + O(x^{2006})\right)\\ = (1-x)^2 + 2006 x^{2005} + O(x^{2006}) $$ Esto implica que $$f^{[2005]}(0) = 2006 \times 2005! = 2006!$$