He intentado utilizar el binomio de expansión, pero no obtuve el mismo resultado. Me gustaría saber cómo acercarse a esto, por favor. Sé que la respuesta es $\sqrt{e}$.
Mi problema es :
$$\lim\limits_{x\to 0} \left(1+\frac{1-\cos x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$$
y también, me parece buena la manipulación con este tipo de problemas ?
Usted puede utilizar de esta manera: \begin{eqnarray} \lim\limits_{x\to 0} \left(1+\frac{1-\cos x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}&=&\lim\limits_{x\to 0} \left(\left(1+\frac{1-\cos x}{x}\right)^{\frac{x}{1-\cos x}}\right)^{\frac{1-\cos x}{x^2}}=e^{\frac12} \end{eqnarray} Esto es debido a que $$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0, \lim_{x\to0}\frac{x}{1-\cos x}=\infty, \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e,\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12. $$
Tenga en cuenta que podemos escribir \begin{equation*} \lim_{x\to 0}\exp(\frac{\ln(1+\frac{1-\cos(x)}{x})}{x}). \end{ecuación*} La aplicación de la regla de L'Hospital dos veces nos da \begin{equation*} \exp(\lim_{x\to 0}\frac{x\cos(x)}{1+2x-\cos(x)+x\sin(x)}) \\ =\exp(\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+2x-\cos(x)+x\sin(x)}). \end{ecuación*} La aplicación de la regla de L'Hospital de nuevo da \begin{equation*} \exp(\lim_{x\to 0} \frac{1}{2+x\cos(x)+2\sin(x)})=\sqrt{e}~_{\square} \end{ecuación*}
Sugerencia de mirar el $\log$ uso de $\cos{x}=1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)$ $\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
Veamos con más detalles
$$\log\left(\left(1+\frac{1-\cos x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}\right)=\frac{1}{x}\log\left(1+\frac{1-\cos x}{x}\right)$$
El uso de la expansión de la $\cos$ tenemos
$$\log\left(\left(1+\frac{1-\cos x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}\right)=\frac{1}{x}\log\left(1+\frac{x}{2}+o(x)\right)$$
Y el uso de la expansión de la $\log$ tenemos
$$\log\left(\left(1+\frac{1-\cos x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}\right)=\frac{1}{2}+o(x)$$
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