Es $E[E(X|Y)|Z] =E[X|Y,Z]$ Si es así, ¿cómo demostrar?

Question

Qué $E[E(X|Y)|Z] =E[X|Y,Z]$? También, ¿qué acerca de la $E[E(X|Y=y)|Z=z] =E[X|Y=y,Z=z]$ estoy confundido por las relaciones. Parece intuitivamente a ser el caso. Si es correcto, ¿cómo puedo demostrar matemáticamente. He buscado en este sitio y en otros lugares...

Answer 1

Los dos condicional expectativas difieren en general:$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z] \ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$$

Como cuestión de hecho, estrictamente hablando, no se siquiera viven en el mismo espacio funcional ya que el primero es una función de $Z$, medibles wrt $\sigma(Z)$, $\sigma$ álgebra inducida por $Z$, mientras que el segundo es una función de $(Y,Z)$, por lo tanto medibles wrt $\sigma(Y,Z)$, $\sigma$ álgebra inducida por $(Y,Z)$,

Como un contra-ejemplo, considere la configuración cuando

1. $X$ $Y$ son independientes
2. $X$ $Z$ son dependientes, con $\mathbb{E}[X|Z]\ne \mathbb{E}[X]$

Entonces, debido a la independencia entre el $X$ y $Y$, $\mathbb{E}(X|Y)=\mathbb{E}[X]$ y, por tanto,$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]= \mathbb{E}[X]\ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$$

Válida la igualdad es en lugar de$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y,Z)|Z]=\mathbb{E}[X|Z]$$que tiene para todos la dependencia de las relaciones entre las tres variables aleatorias.

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Notas: La diferencia entre las notaciones $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ es que

1. $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ es una variable aleatoria, la transformación de la variable aleatoria $Z$ (y no de la variable aleatoria $Y$ desde $Y$Y también está condicionada en $Z$);
2. $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ es una función de, aparentemente, tanto en$y$$z$, pero en realidad sólo de $y$ (como se explica más adelante) que no tiene ningún significado claro desde un punto de vista probabilístico. De hecho, para un valor dado $y$, $\mathbb{E}(X|Y=y)$ es una constante para los cuales, teniendo una esperanza condicional condicional en la realización de $Z=z$ tiene poco sentido, ya que también devuelve $\mathbb{E}(X|Y=y)$. Por ejemplo, si $X$ depende tanto de $Y$ $X$ como una variable aleatoria, para la realización de la $y$ $Y$ $Z$ de $z$, $\mathbb{E}(X|Y=y)$ es una constante que generalmente difiere de $\mathbb{E}(X)$ e de $\mathbb{E}(X|Y=y,Z=z)$. Pero $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ es no una realización de la variable aleatoria $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$. La correcta realización es $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z=z]$