Mostrando el polinomio $x^4 + x^3 + 4x + 1$ es irreducible en a $\mathbb{Q[x]}$.

Question

Mostrando el polinomio $f(x) = x^4 + x^3 + 4x + 1$ es irreducible en a $\mathbb{Q[x]}$.

Tengo dos pregunta relacionada con esto que me he negrita a continuación.

Intento de respuesta

(*) $f$ tiene el grado $4 \ge 2$ así que si $f$ tiene una raíz, a continuación, $f$ es reducible.

Así la raíz racional de la prueba dice que si $\exists$ racional raíz de $\frac{p}{q}$ $p, q$ coprime, a continuación,$p|a_0$$q|a_n$.

Por tanto, las posibles raíces racionales son $\pm 1$. Ninguno de estos son las raíces de lo $f$ no tiene una raíz. Pero (*) sólo dice que si $f$ tiene una raíz, a continuación, $f$ es reducible, no implica que si $f$ no tiene una raíz, a continuación, $f$ es irreductible. Es esto correcto?

Ahora no podemos aplicar Eisenstein, la irreductibilidad criterio teorema ya que no hay prime $p$ tal que

$p\mid a_0, a_1,..., a_{n-1}$

$p \nmid a_n$

$p^2 \nmid a_0$

Así que, ¿a dónde vamos desde aquí? Otro hecho soy consciente es de que si $f$ es primitivo, que es, $f$ irreductible en $Q[x] \iff f$ es irreducible en a $Z[x]$. Pero no veo la manera de que me puede ayudar aquí. Entonces, ¿cómo debo proceder?

Answer 1

sí no implica que si f no tiene una raíz, entonces f es irreducible. Es esto correcto?

Sí, eso es correcto. Para polinomios de grado $> 3$, la ausencia de raíces en $\mathbb{Q}$ es sólo una condición necesaria, pero no una condición suficiente para la irreductibilidad.

Aparte de intentar una substitución $x \mapsto x - a$ para alcanzar un formulario donde Eisenstein criterio es aplicable, usted puede considerar el correspondiente polinomio de más de $\mathbb{Z}/(p)$ primer $p$. Si $f$ es reducible, por lo que es su imagen $\overline{f} \in \left(\mathbb{Z}/(p)\right)[X]$, si se tiene el mismo grado como $f$ (desde $f$ aquí es monic, que es el caso). Así que si $\overline{f}$ es irreducible en cualquier $\left(\mathbb{Z}/(p)\right)[X]$ , $f$ sí es irreducible.

Nota: si $\overline{f}\in \left(\mathbb{Z}/(p)\right)[X]$ es reducible, que no implica que $f$ es reducible.

Si nos fijamos en el ejemplo de más de $\mathbb{Z}/(2)$,$\overline{f}(x) = x^4+x^3+1$. Es fácil de ver que no tiene ningún cero en $\mathbb{Z}/(2)$, por lo que si fuera reducible, ambos factores tienen que ser cuadrática. Desde el término constante es $1$, una factorización tendría el formulario $$x^4+x^3+1 = (x^2+ax+1)(x^2+bx+1).$$ But then the coefficients of $x^3$ and $x^1$ would be equal ($+b$). So $\overline{f}$ es irreductible.

Answer 2

De otra manera, en lugar de intentar aplicar Eisenstein, es asumir que se puede, de hecho, el factor de se $(x^2+bx+c)(x^2+dx+e)=x^4+x^3+4x+1$ y llegar a una contradicción. Gauss lema que hace que su trabajo sea mucho más fácil.

Answer 3

Aplicar Eisensteins criterio para $p=3$ a $$f(x-1)=x^4-3\,x^3+3\,x^2+3\,x-3$$

Si $f$ puede ser factorizado, ambos factores deben tener grado $2$ porque no hay ningún número entero de la raíz. Porque de $$f(-11)=13267,f(-3)=43, f(-2)=1, f(-1)=-3, f(0)=1, f(1)=7,f(4)=337$$ uno de estos grados $2$-factores es $1$ a los tres valores de x (o -1). Por lo que es idéntica a $1$ (o $-1$). Por lo $f$ es irreductible. Ver este enlace ($13267,43,3,7,337$ son primos)

Pero es suficiente que $$f(-11)=13267$$ is a prime because $11 \gt 2+\max\{\frac{|a_i|}{a_4} \mid i =0,1,2,3\}$ Ver este y este

Answer 4

Sugerencia: trate de una sustitución de $x \mapsto x - a$ algunos $a$; si el resultado polinomio es irreducible (utilizando Eisenstein, por ejemplo), el original es así.

Answer 5

Las preguntas fueron respondidas por Daniel Fischer.

Aquí hay otra manera de probar la irreductibilidad de ese polinomio.

Como señaló el polinomio $f$ es irreducible en a $\mathbb Q[x] \iff$ es irreducible en a $\mathbb Z[x]$. Tenga en cuenta también que $f$ tiene sólo una raíz en el interior del círculo unidad y todas las otras raíces fuera del círculo unidad (uso del teorema de Rouch).
Ahora bien, si suponemos que el $f$ es reducible con $f(x)=g(x)h(x) \ $ ($g(x),h(x)\in\mathbb Z[x], \ \deg f,\deg g>0$) entonces uno de los polinomios $g,h$ tiene todas sus raíces fuera del círculo unidad y el término constante $\pm1$ (que es el producto de sus raíces). Esta es una contradicción.