Pregunta sobre el orden de una Estacionaria subconjunto de $ \kappa$

Question

Saluda

Estoy tratando de probar una parte del ejercicio 8.14 de Jech de la "Teoría de conjuntos", es decir, que si $o(k)\geq k$, $k$ es débilmente inaccesibles, donde $\kappa$ es regular; $o(\kappa)$ se define como sigue:

Para cualquier estacionaria subconjuntos $S,T$ definimos $S<T$ fib $S\cap \alpha$ es estacionaria en $\alpha$ en casi todas las $\alpha\in T$, Jech demuestra que $<$ es un bien fundado relación, y por lo tanto se define para cualquier estacionario $X$, $o(X)=\operatorname{sup}\{o(Y)+1: Y<X\}$, y $o(\kappa)=\operatorname{sup}\{o(Y)+1: Y$ es estacionaria subconjunto de $\kappa\}$.

Algunos preliminares para este ejercicio son :

• El conjunto de cerrados no acotados subconjuntos fo $\kappa$ es cerrado bajo intersecciones de menos de $\kappa$ elementos, y también es cerrado bajo la diagonal de las intersecciones.
• Si $\lambda<\kappa$ $\alpha$th regular el cardenal, a continuación,$o(E_{\lambda}^{\kappa})=\alpha$.

Para demostrar esta parte del ejercicio que necesita sólo para demostrar que si $X,Y,Z$ son estacionarias subconjuntos de a $\kappa$ tal que $X<Y$$o(Y)=o(Z)$,$X<Z$, no sé si esta propiedad es true o no, si es cierto, me gustaría ver una prueba de ello, o una pista para resolver Jech del ejercicio.

Gracias

Answer 1

Voy a dar una respuesta a la Jech del ejercicio.

Deje $F:\mathrm{Ord}\to\mathrm{Card}$ ser la enumeración de los regulares de cardenales.

Primero de todo, observar que si $A<B$ $C\subseteq B$ (e $C$ es estacionaria), a continuación,$A<C$. De esta manera se sigue casi de inmediato: Si $D$ es un club de conjunto tal que para todos los $\alpha\in B\cap D$ tenemos que $A\cap\alpha$ es estacionaria, entonces el mismo club que da para todos los $\alpha\in C\cap D$ que $A\cap\alpha$ es estacionaria. De esto se deduce que si $C\subseteq B$$o(C)\geq o(B)$.

Reivindicación 1: Si $A$ es estacionaria en $\kappa$, entonces casi todos los elementos de a $A$ han cofinality menos que $\kappa$.

Prueba:

Si $\kappa$ es regular, esto es trivial. Si $\kappa$ no es regular, a continuación, tome $f:\mathrm{cf}(\kappa)\to\kappa$ normal y sin límite de la función. $f_{-1}(A)$ es estacionaria en $\mathrm{cf}(\kappa)$. Observe que $\mathrm{cf}(\kappa)>\mathrm{cf}(\beta)\geq\mathrm{cf}(f(\beta))$ todos los $\beta\in\mathrm{cf}(\kappa)$. Observe también que $f[\mathrm{cf}(\kappa)]$ es el club en $\kappa$. Por lo tanto $A\setminus f[\mathrm{cf}(\kappa)]$ el conjunto de posibles elementos cuya cofinality puede ser mayor que o igual a $\kappa$ es no estacionaria en $\kappa$.

Reivindicación 2: Si $A$ es estacionaria subconjunto de $\kappa$ cuyos elementos tienen cofinality $\lambda$,$o(A)=F^{-1}(\lambda)$.

Prueba:

La prueba es por inducción sobre $F^{-1}(\lambda)$. Para $0$ tenemos que todos los elementos de a $A$ han cofinality $\omega$, y por lo tanto su fin es $0$ definición.

Supongamos que es cierto para todos los $\beta<\alpha$ y deje $A$ ser estacionaria subconjunto de $\kappa$ de manera tal que todos los elementos de a $A$ han cofinality $F(\alpha)$. La primera de todas las $o(A)\geq \alpha$ desde $E^\kappa_{F(\beta)}<A$ todos los $\beta<\alpha$.

Tome $B<A$. Deje $C$ ser un club que para todos los $\xi\in A\cap C$, $B\cap\xi$ es estacionaria. Yo reclamo que $B'=B\cap\{\xi\in\kappa : \mathrm{cf}(\xi)<F(\alpha)\}$ es estacionaria. De hecho, si no existe, no es un club de $H$ tal que $B'\cap H=\varnothing$. A continuación, para$\xi\in A\cap C\cap H$, $H\cap\xi$ es un club subconjunto de $\xi$$B'\cap H\cap\xi=\varnothing$, contradiciendo la Reivindicación 1, que casi todos los elementos de a $B\cap\xi$ han cofinality menos de $F(\alpha)$.

Definir la función de $g:B'\setminus(F(\alpha)+1)\to\kappa$$g(\gamma)=\mathrm{cf}(\gamma)$. Observe que $g$ es regresivo y, por tanto, por Fodor del Teorema $g$ es constante en un conjunto estacionario $B''\subseteq B'$. A continuación, todos los elementos de a $B''$ han cofinality $F(\beta)$ donde $\beta<\alpha$, y por la hipótesis de inducción $o(B'')=\beta$. Por la observación anterior $o(B'')\geq o(B')\geq o(B)$. Por lo tanto para todos los $B<A$ tenemos $o(B)<\alpha$ e lo $o(A)\leq\alpha$. Esto completa la prueba de la Reivindicación 2.

Reivindicación 3: Si $\kappa$ es regular el cardenal y $F^{-1}(\kappa)<\kappa$$o(\kappa)<\kappa$.

Prueba:

Tome $A$ estacionaria subconjunto de $\kappa$. Desde $F^{-1}(\kappa)<\kappa$, el conjunto de regular los cardenales por debajo de $\kappa$ está delimitado en $\kappa$. De ahí que casi todos los elementos de a $A$ están en singular cardenales, así que vamos a suponer que $A'\subseteq A$ es estacionaria subconjunto de $\kappa$ que contiene sólo singular cardenales. A continuación, como el de la Reivindicación 2, definir un mapa que envía todos los elementos de a $A'$ a sus cofinality. Por Fodor del Teorema no es un conjunto estacionario $A''\subseteq A'$ tal que todos sus elementos tienen cofinality $\lambda<\kappa$. A continuación,$o(A'')=F^{-1}(\lambda)<F^{-1}(\kappa)<\kappa$. A partir de la observación en el principio tenemos que $o(A)\leq o(A'')$. Por lo tanto $o(A)<F^{-1}(\kappa)$, por lo tanto $o(\kappa)\leq F^{-1}(\kappa)$.

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La reivindicación 3 es suficiente para mostrar el contrapositivo de lo que quiere, ya que si $\kappa$ es regular sucesor, a continuación,$F^{-1}(\kappa)<\kappa$.