$\epsilon < \frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ implica que: $\epsilon \leq \frac{a+c}{b+d}$?

Question

Deje $a,b,c,d \in \mathbb{N}$ $\epsilon \in \mathbb{R}$ Deje $\epsilon < \frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ ¿esto implica que: $\epsilon \leq \frac{a+c}{b+d}$?

Answer 1

Sugerencia: $$\epsilon\le \frac{a+c}{b+d}\iff b\epsilon+d\epsilon \le a+c$$ Debido a $\epsilon < \frac{a}{b}$$\epsilon< \frac{c}{d}$, ... (en realidad no necesita que $\frac ab<\frac cd$ de esta forma)

Answer 2

Supongamos que $\dfrac{a}{b}\lt \dfrac{c}{d}$ donde $b$ $d$ son números reales positivos. Entonces $$\frac{a}{b}\lt \frac{a+c}{b+d}\lt \frac{c}{d}.$$

Vamos a comprobar la mitad del resultado anterior que usted no necesita, que $\dfrac{a+c}{b+d}\lt \dfrac{c}{d}$.

Un enfoque natural es considerar la diferencia de $\dfrac{c}{d}-\dfrac{a+c}{b+d}$, que se simplifica a $\dfrac{bc-ad}{d(b+d)}$. El denominador es positivo. Y desde $\dfrac{c}{d}-\dfrac{a}{b}\gt 0$, el numerador es positivo.

Nota: Usted podría estar interesado en otras propiedades de la mediant.

Answer 3

De manera más general, si $\epsilon < a/b$ y $\epsilon < c/d$, donde $a, b, c, d$ son positivas reales, entonces $\epsilon < (r a+s c)/(r b + s d)$, donde $r$ $s$ son positivos reales.

Prueba: $\epsilon < (r a+s c)/(r b + s d)$ $\iff$ $\epsilon(r b + s d) < r a+s c$ $\iff$ $r(a-\epsilon b) > s(d \epsilon - c)$ lo cual es cierto porque el lado izquierdo es positiva y el lado derecho es negativo.

El reverso de la desigualdad también es cierto, pero $\epsilon$ le gusta ser menos que los demás valores y es incómodo cuando se le preguntó a ser mayor.

Answer 4

De manera más general, se puede demostrar que si $\frac a b < \frac c d$:$$\frac{a}{b}\leq\frac{a+c}{b+d}\leq \frac c d$$