Para cada *no de la plaza* matriz de demostrar que $AA^t$ o/y $A^tA$ es singular

Question

Para todos los que no son cuadrados de la matriz de demostrar que $AA^t$ o/y $A^tA$ es singular.

Al igual que el título, quiero probar esto y traté de pensar en maneras de demostrarlo, pero yo no podía pensar de algunos..

Sé que por esta respuesta que $AA^t$ es simétrica pero no puedo hacer la conexión.

Si alguien tiene al menos un indicio de que va a ser grande si usted podría escribir en la sección de comentarios para que yo pudiera darle un tiro!

Gracias de antemano.

Answer 1

Para explicar mi sugerencia, supongamos $A$ $n \times m$ matriz y $n \neq m$. Debe ser que $rank(A^t) = rank(A) \leq \min(n,m) < \max(n,m)$.

Utilizando el hecho de que $rank(AB) \leq rank(A)$ cualquier $A,B$ para que el producto está definido, tenemos que:

$$rank(AA^t) \leq rank(A) < \max(n,m)$$ $$rank(A^tA) \leq rank(A^t) < \max(n,m).$$

Pero debe ser el caso que las dimensiones de $AA^t$ o $A^tA$$\max(n,m)$. Por tanto, al menos uno de ellos no tiene rango completo. Para matrices cuadradas, no tener rango completo es equivalente a ser singular.