Diferencias entre el infinito-dimensional y finito-dimensional espacios vectoriales

Question

Acabo de empezar un curso en Teoría de la Representación, y en la solución de nuestra primera tarea la he usado un par de teoremas sobre finito-dimensional espacios vectoriales (por ejemplo, el rango de nulidad teorema). Mis colegas me señaló que estamos trabajando, en general, espacios vectoriales, por lo que he parcheado hasta los lugares donde yo he utilizado los teoremas más general de los argumentos.

Así que, ¿por qué hice ese error? Bueno, en mi anterior álgebra lineal cursos que en su mayoría se trabajó con finito-dimensional espacios vectoriales, por lo que en mi mente empecé a considerar todos los espacios vectoriales finito-dimensional.

Para arreglar eso, y para evitar futuros contratiempos, me gustaría ver un par de diferencias entre finito-dim. y el infinito-dim. espacios vectoriales. Más "obvio" hecho es en lo finito-dimensional espacio, mejor.

Answer 1

(1). Hay endomorphisms $T$ $\ker(T)=\{0\}$ que no surjective.

(2). No en todos los casos una forma lineal $\phi$ es representable por un vector $v$ en presencia de un producto escalar, es decir, no existe un vector $v$ que $\phi(.)=\langle v,.\rangle$.

(3). No todos lineal asignaciones son continuos.

(4). Que con el equipamiento de un espacio vectorial con dos diferentes normas que la unidad de la bola con respecto a la primera norma en sin límites en el respeto a la segunda.

Es sólo un nuevo mundo.

Answer 2

De un número finito de dimensiones de espacio vectorial siempre es isomorfo a su doble, pero esto es falso para un infinito dimensional espacio vectorial.

Answer 3

Por ejemplo, no todos (infinito) de la matriz corresponde a un operador lineal.