Definición de la normalizador de un subgrupo de

Question

Deje $G$ ser un grupo y $H$ a un subgrupo de $G$. ¿Hay algún contraejemplo a la afirmación de

$N_G(H):=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}=\{g\in G\mid gHg^{-1}\subset H\}$?

Gracias!

Answer 1

Deje $G=GL_2(\mathbb{Q})$, vamos a $N$ ser el subgrupo de triangular superior matrices con números enteros entradas y 1 en la diagonal, y deje $g$ ser la matriz diagonal con entradas de $2,1$. Observar que $gNg^{-1} \leq N$, pero $g$ ¿ no normalizar $N$. (Este es un Ejercicio en la página 88 de Dummit & Foote del Álgebra Abstracta de texto).