¿Si es homeomorfa a $T \times \Bbb{R}^k$ $S \times \Bbb{R}^k$ y $S$ es compacto, podemos concluir que $T$ es compacto?

Question

¿Si \times \Bbb{R}^k$ $S es homeomorfa a $T \times \Bbb{R}^k$ para algunos $k \geq 1$ y $S$ es compacto, podemos concluir que $T$ es compacto?

El caso donde $k = 1$ y $S$ y por lo tanto también $T$ es localmente conectado se aborda en mi respuesta a esta pregunta. Ahora tengo curiosidad sobre el caso general.

Answer 1

Sí, si $S$ es compacto, entonces $T$ es también compacto.

De hecho, la propiedad de que la $S$ es compacto puede ser expresado en términos de espacio topológico $X=S\times\mathbb{R}^ k$. La idea es bastante natural, si $S$ es compacto, entonces es posible eliminar un conjunto compacto de $X$, que deja de ciertos mapas a partir de los $(k-1)$esfera de $\mathbb{S}^{k-1}$ de ser null-homotópica. La declaración precisa es un poco difícil, sin embargo.

Los siguientes son equivalentes.

1. $S$ es compacto.
2. Existe un compacto $A\subseteq X$ tales que, para cada compacto $B\supseteq$ existe un compacto $C\supseteq B$ tales que, para cada $x\X\setminus C$, existe un continuo de $f\colon \mathbb{S}^{k-1}\X\setminus B$ con $x$ en su imagen y que es nulo homotópica como un mapa de $X$, pero no nulo homotópica como un mapa para $X\setminus B$.

En primer lugar, supongamos que 1 es verdadera. Necesitamos construir los conjuntos de $A$, $C$ y la función $f$ para las elecciones de $B$ y $x$. $A=S\times\lbrace0\rbrace$. Dado cualquier compacto $B\supseteq$, deje que $\pi_{\mathbb{R}^k}(B)$ ser su proyección en $\mathbb{R}^k$. Como este es compacto, está contenida en la bola cerrada $\bar B_R(0)$ $R > 0$. $C=S\times\bar B_R(0)$. Entonces, dado cualquier valor de $x\X\setminus$ C, podemos escribir $x=(s_0,y_0)$ donde $\lVert y_0\rVert = r > r$. Definir $f\colon \mathbb{S}^{k-1}\X$ por $f(a)=(s_0,ra)$. Este es null-homotópica como un mapa de $X$ a través de la homotopy $F(a,u)=(s_0,(1-u)ra)$. Por otro lado, no es null-homotópica como un mapa para $X\setminus B$. Para ver esto, definir $g\colon X\setminus B\to \mathbb{S}^{k-1}$ $g(s,y)=y/\lVert y\rVert$. Entonces, $g\circ f$ es la identidad en $\mathbb{S}^{k-1}$. Sin embargo, es normal que el (k-1)-esfera no es contráctiles o, de manera equivalente, la identidad en $\mathbb{S}^{k-1}$ no es null-homotópica, lo que implica que $f$ no es null-homotópica.

Por el contrario, supongamos que $S$ no es compacto. Necesitamos probar que 2 es falsa. Para ser explícitos, la negación de los 2 se puede escribir como

2'. Para cualquier compacto $A\subseteq X$ existe un compacto $B\supseteq$ tal que, para cualquier compacto $C\supseteq B$, existe un valor de $x\X\setminus C$ de tal forma que cada continuas $f\colon\mathbb{S}^{k-1}\X\setminus B$ con $x$ en su imagen y que es nulo homotópica como un mapa de $X$ es también nulo homotópica como un mapa para $X\setminus B$.

Por lo tanto, necesitamos construir el conjunto $B$ y punto $x\X\setminus C$ para cualquier elección de $A$ y $C$, y mostrar que cualquier función $f$ es nulo homotópica como un mapa para $X\setminus B$.

Dado un compacto $A\subseteq X$, su proyección en $\mathbb{R}^k$ es compacto, por lo que figura en la bola cerrada $\bar B_R(0)$ $R > 0$. También, su proyección $S_1=\pi_S(Una)$ es compacto. Tomar $B=S_1\times\bar B_R(0)$. Si $C$ es un conjunto compacto que contiene $B$, a continuación, la proyección de $\pi_S(C)$ es compacto, por lo que no es la totalidad de los $S$. Por lo tanto, podemos elegir $s_0\S\setminus\pi_S(C)$. Conjunto $x=(s_0,0)\X\setminus C$.

Ahora, supongamos que $f\colon\mathbb{S}^{k-1}\X\setminus B$ $x$ en su imagen y es null-homotópica como un mapa de $X$. Necesitamos construir un null-homotopy para $f$ un mapa que $X\setminus B$. Escribe $f(a)=(f_1(a),f_2(a))$, donde $f_1,f_2$ son los mapas de $\mathbb{S}^{k-1}$ $S$ y $\mathbb{R}^k$, respectivamente. En primer lugar, no existe continua mapas de $f^\prime_2\colon\mathbb{S}^{k-1}\to\mathbb{R}^k\setminus\lbrace0\rbrace$ que son arbitrariamente cerca de $f_2$. Una forma de ver esto es a primera aproximado de $f_2$ por una función suave. Entonces, como la imagen de un buen mapa de $\mathbb{S}^{k-1}$ $\mathbb{R}^k$ no puede contener cualquier bola abierta sobre el origen (su imagen debe tener cero de la medida), no va a ser arbitrariamente pequeño $v\in\mathbb{R}^k$ tal que $f^\prime_2=f_2+v$ no pasa por el origen. Entonces, $f$ será homotópica a $(f_1,f_2^\prime$ para $f_2^\prime$ lo suficientemente cerca de $f_2$. A continuación, por la escala, $f$ es homotópica a $(f_1,rf^\prime_2)$ para $r\ge1$. Así, mediante la ampliación de $f_2^\prime$, podemos suponer que $\lVert f^\prime_2\rVert > R$.

Hemos demostrado que $f$ es homotópica a $(f_1,f^\prime_2)$ donde $f^\prime_2\colon\mathbb{S}^{k-1}\to\mathbb{R}^{k-1}\setminus\bar B_R(0)$. Siguiente, por la proyección en $S$, la condición de que $f$ es nulo homotópica como un mapa de $X$ implica que $f_1$ null homotópica. También, como $f$ $(s_0,0)$ en su imagen, $f_1$ ha $s_0$ en su imagen lo es homotópica a la constante mapa de $s_0$. Esto le da un homotopy de $f$ el mapa que $a\mapsto(s_0,f^\prime_2(a))$. Finalmente, por la escala, $f^\prime_2$ es homotópica a la constante de mapa $0$. Así, hemos construido un null-homotopy para $f$ (como un mapa para $X\setminus B$) para la constante de mapa $a\mapsto(s_0,0)$.