Soy nuevo en la topología, pero debo entender cómo funciona para progresar en mi investigación.
En primer lugar, ¿alguien puede indicarme un documento que introduzca la topología de forma "suave"? ¿Qué requisitos previos necesito para entender el tema?
Por ahora necesito una comprensión intuitiva de los colectores.
Intuitivamente, un colector es un espacio tal que, si se amplía lo suficiente, parece un espacio euclidiano plano. Llamemos a uno de estos pequeños parches planos "gráfico" (así que el gráfico es sólo lo que se puede ver cuando se ha ampliado lo suficiente).
Tenemos que ser capaces de cubrir todo el espacio con esos gráficos, y el espacio no puede tener cosas locas donde los gráficos se superponen.
Por ejemplo, el gráfico de la curva $y=x^2$ es un colector porque para cualquier punto de la gráfica, podemos acercarnos lo suficiente como para que la línea tangente sea una muy buena aproximación.
Por otro lado, el gráfico de $y=|x|$ no es una variedad diferenciable, porque por mucho que nos acerquemos al punto $(0,0)$ Siempre hay un borde afilado. Obsérvese que se trata de una variedad topológica válida, pero no diferenciable. (He leído descuidadamente la pregunta para referirme a las variedades diferenciables).
La topología entra en juego cuando se describen los tipos de conjuntos que pueden ser los gráficos. Sus gráficos deben ser equivalentes (topológicamente) a un conjunto abierto en $\mathbf{R}^n$ (espacio euclidiano). También hay algunas otras condiciones técnicas que descartan las patologías locas que se le ocurren a la gente.
@Joseph ¡Gracias! No estoy seguro pero déjame intentarlo. Estoy pensando en el espacio euclidiano como una cosa plana hecha de cosas planas, así que un colector es un objeto resultante de cosas no planas? Así que el espacio euclidiano 1D es una línea, el E.S. 2D es un plano... pero estas cosas no están acotadas (una línea es eterna) y por eso es un colector, ¿no? La diferencia no está clara.
Sí, el espacio euclidiano de cualquier dimensión es un colector. La apertura no se preocupa por la acotación, así que, de hecho, para el espacio euclidiano se puede hacer que todo el espacio sea un gran gráfico.
@FlybyNight Tienes razón; ahora me doy cuenta de que la pregunta no dice nada sobre la diferenciabilidad. Siempre que leo múltiple salto inmediatamente a ese caso.
La definición de un espacio topológico ya se ha dado anteriormente. Sólo trataré de explicar mi visualización de un colector. Como se ha dicho antes, es un espacio (topológico) que localmente se parece a $ R^n $ . Algunas personas también lo interpretan como algo localmente plano. Un ejemplo muy común es la representación del globo terráqueo (geográfica). Esto engloba las nociones de "cartas y atlas". Una carta no es más que la cartografía de coordenadas definida por Berci. Y una colección de conjuntos abiertos en el espacio y las cartas correspondientes $ \{U_x ,\phi_x\} $ se llama atlas en el colector. Nótese que también puede haber una posible superposición de los dominios de los gráficos.
Esta es una analogía muy burda. Puedes imaginarte un colector como una habitación oscura con una linterna disponible. Así, en un momento dado, la linterna sólo le permitirá ver una determinada zona de la habitación, lo que le dará una idea local del aspecto de la misma. La linterna no es más que $ R^n $ que viene equipado con un bonito sistema de coordenadas.Que la antorcha esté en esta habitación es lo que hace que sea un colector.
Para que un espacio topológico sea una variedad "interesante", tiene que satisfacer ciertas propiedades topológicas como la Hausdorffidad y la paracompacidad, etc.
Los libros abundan. Uno de ellos sería Introduction to smooth manifolds de J.M.Lee. Un libro que he probado un poco pero que me ha gustado lo poco que he leído es el de Dubrovin, Novikov, Fomenko. También sugeriría apuntes subidos en algunas páginas web de universidades reputadas por los profesores de las mismas. Son muy útiles para el autoestudio.
Lo siento, no estoy bien informado sobre los poliedros/politopos. No sería la persona adecuada para recomendar nada allí.
No entiendo por qué tienen que ser conjuntos/caracteres abiertos. ¿Una unión de conjuntos/gráficos abiertos no está "desconectada" y eso no implica discontinuidades en los puntos borrados que encierran las regiones de intersección? ¿No pueden ser conjuntos/caracteres cerrados para que no haya regiones borradas y, por tanto, para que el colector sea suave?
A $U\subseteq\mathbb X$ es un conjunto abierto (para $X=\mathbb R^n$ o $X$ cualquier espacio métrico ) si es una unión de bolas abiertas regulares, es decir, siempre que $x\in U$ Hay un $\varepsilon>0$ tal que $B_x(\varepsilon)\subseteq U$ . Intuitivamente significa que $U$ "no contiene su frontera".
Un espacio topológico viene dado por un conjunto $X$ de sus puntos y la clase de sus conjuntos abiertos, tomando estos como primitivos, pero el punto principal es que obtenemos una noción de limitar y continuidad . La clase de conjuntos abiertos debe ser cerrada bajo intersección finita y unión arbitraria. Espacios topológicos $X$ y $Y$ son topológicamente iguales ( homeomorfo ) si hay un $f:X\to Y$ que también es una biyección entre los conjuntos abiertos (es decir, ambos $f^{-1}$ y $f$ son continuos).
A topológico/diferenciable/suave $n$ -manifold es un espacio topológico $X$ que es localmente $\mathbb R^n$ . Precisamente, requerimos que para cada punto $x\in X$ hay un abierto $U\ni x$ y un homeomorfismo $\phi_x:U\to B$ donde $B$ es cualquier bola en $\mathbb R^n$ ( $B=B_z(r)$ ), de manera que todos los $\phi_y\circ\phi_x^{-1}$ los mapas son continuo/diferenciable/suave . Estos $\phi_x$ también se denominan mapeos de coordenadas.
http://www.amazon.com/The-Symmetries-Things-John-Conway/dp/1568812205
Un libro excelente para conocer el funcionamiento de los colectores.
Algo parecido a lo que hizo Mandelbrot con La geometría fractal de la naturaleza.
Supongo que todas estas son buenas explicaciones. Me gustaría dar mi idea de un colector.
Supongamos que tenemos un objeto geométrico y que podemos relacionarlo o dar una correspondencia uno a uno con cualquier espacio euclidiano en cada punto, entonces este objeto geométrico se llama colector. Ejemplos sencillos son las líneas, los círculos, los planos y los toros.
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