La intuición detrás de subgrupos normales

Question

He estudiado un poco de teoría de grupos recientemente, pero todavía no estoy capaz de asimilar por qué subgrupos normales son tan importantes, en la medida en que los teoremas como $(G/H)/(K/H)\approx G/K$ no espera a menos que $K$ es normal, o que a corto exacta de las secuencias de $1\to N \stackrel{f}{\to}G\stackrel{g}{\to}H\to1$ sólo tiene al $N$ es normal.

Hay una característica fundamental de la estructura normal del subgrupos que hace cosas que sólo se aplican a la normalidad subgrupos de cultivos tan profusamente en la teoría de grupo?

Estoy buscando aquí para algo un poco más de "$gN=Ng$, por lo tanto, actúa muy bien".

Answer 1

Para cualquier subgrupo $H$$G$, siempre se puede definir una relación de equivalencia en $G$ dada por $$g_1 \equiv g_2 \iff g_1g_2^{-1} \in H$$ Esto permite definir un cociente de $G$ $H$ observando clases de equivalencia. Esto funciona perfectamente bien, y que le da un conjunto de cosets, que se denota $$G/H = \{[g] = gH \mid f \G\}$$ Sin embargo, tenga en cuenta que mientras comenzamos a hablar acerca de los grupos, ahora hemos terminado con un conjunto, que tiene menos estructura! (Todavía hay algo más de estructura, por ejemplo, la acción de la $G$ en el cociente)

Nos gustaría definir un grupo natural de la estructura de este cociente, simplemente para que no nos terminan en una categoría completamente diferente. ¿Cómo debe esta nueva estructura del grupo se comportan? Bueno, parece natural preguntarse que $$[g * h] = [g] *_{nuevo} [h]$$ de modo que el mapa de $G \to G/H$ sería un homomorphism (esto es, en este contexto, lo que quiero decir por "natural"). Entonces, ¿qué implicaría esto? Vamos a escribir: $$(gh)H = [g * h] = [g]*_{nuevo}[h] = (gH)(hH)$$ Si usted trabaja fuera de lo que estos conjuntos son, a continuación, puede ver que esta ecuación sólo puede ser verdad si tenemos ese $hH = Hh$ por cada $h \in G$. Pero esto es exactamente la condición de que $H$ es normal.

La respuesta corta: $H$ siendo normal es precisamente la condición que se requiere para que podamos poner un compatibles con la estructura de grupo en el conjunto cociente $G/H$.

Answer 2

Los subgrupos normales de $G$ son todos los conjuntos, que aparecen como núcleo del grupo-homomorphisms $G \rightarrow H$.

Los subgrupos son los conjuntos que aparecen como imágenes de grupo-homomorphism $H \rightarrow G$.

Answer 3

Para expandir ligeramente Simon Rose comentario

$H$ siendo normal es precisamente la condición que se requiere para que podamos poner un compatibles con la estructura de grupo en el conjunto cociente $G/H$.

Supongamos que para cada una de las $x, y \in G$ hay $g \in G$ tal que $(x H) ( y H) = g H$, es decir, el producto de los dos de la izquierda cosets de $H$ es también una izquierda coset.

Tome $x = y^{-1}$, por lo que el $1 = y^{-1} 1 y H \in (y^{-1} H) (y H) = g H$, y por lo tanto $g H = H$. Por lo tanto para cada $h \in H$ $y \in G$ hemos $$y^{-1} h y = y^{-1} h y 1 \(y^{-1} H) ( y H) = H,$$ es decir, $H$ es normal.