Derivado de una función Delta

Question

Sé que se han hecho preguntas similares a ésta, pero hay un aspecto en particular que me confunde y que no se trató en las respuestas a las otras. Estoy tratando con una expresión que he simplificado en algo como \begin {ecuación}f(D) \int_ {- \infty }^{ \infty dk, e^{-ikx} \end ¿Dónde $D= \frac {d}{dx}$ La integral es simplemente un delta de Dirac $ \delta (x)$ y por lo poco que sé de las distribuciones sé que los derivados de las funciones delta sólo tienen sentido cuando aparecen dentro de una integral. Sin embargo, este no es el caso aquí, así que no estoy seguro de cómo proceder. He visto algunas identidades aquí y allá como $ \frac {d}{dx} \delta (x)=- \frac { \delta (x)}{x}$ y otros similares y no estoy seguro de cómo interpretarlos. Cualquier ayuda en esto sería muy apreciada.

Answer 1

Con una interpretación adecuada (!), es perfectamente posible calcular como $$ {d\over dx}\int_{-\infty}^\infty e^{itx}\;dt \;=\; \int_{-\infty}^\infty {d\over dx}e^{itx}\;dt \;=\; \int_{-\infty}^\infty it\cdot e^{itx}\;dt $$ (Falsamente, la integral es la transformada de Fourier que se toma como templado _distribución_, y no como límite de las sumas de Riemann...) En este ejemplo, uno debe estar preparado para reconocer el resultado (que, como integral numérica diverge, por supuesto) como simplemente la derivada de la delta de Dirac, al igual que el original era la propia delta de Dirac.

Si bien es cierto que $\delta$ no tiene un valor puntual en $0$ , ciertamente tiene valores puntuales fuera de $0$ . Por otra parte, antes de que la gente decidiera formalizar la "función" como algo que debe tener valores puntuales, Euler y muchos otros solían tratar la "función" como si a veces significara "expresión". Mientras tanto, un $L^2$ no tiene realmente valores puntuales, por lo que en cierto sentido es peor que $\delta$ .

Inversión de Fourier en $L^2(\mathbb R)$ parecería implicar integrales que no necesitan converger, pero con el teorema de Plancherel en la mano, continuamos escribiendo esas integrales, pero advertimos que la notación debe entenderse como la extensión por continuidad de un espacio más pequeño.

Creo que gran parte del objetivo de la teoría de la distribución es poder tratar las distribuciones no simplemente como funcionales sobre funciones clásicas, sino como generalizado funciones, permitiendo las mismas operaciones, si se amplían convenientemente.

Operaciones como la dilatación y la traslación son más fáciles de anotar utilizando la notación "argumento". $x\to \delta(x-y)$ Aunque, sí, es arriesgado suponer con demasiada precipitación que las funciones generalizadas comparten todas las propiedades de las clásicas.

Además, la primera ronda de la teoría de la distribución no es el final de la historia, incluso para hacer el mejor uso legítimo de $\delta$ . A saber, una gradación más fina de las "distribuciones" (y de las funciones clásicas) es muy a menudo útil, como medida de lo lejos que está una función generalizada de ser $L^2$ o continua, etc. Así, se puede "predecir" que una solución $u$ a una ecuación $u''+q(x)u=\delta$ (para que sea suave $q$ , digamos) será continuo .

Hace poco me enteré de que el uso intuitivo original de Dirac de $\delta$ en realidad se parecía a lo que ahora se formalizaría como un "triple de Gelfand" $H^{+1}\subset L^2\subset H^{-1}$ de los espacios de Levi-Sobolev en $\mathbb R$ , donde $\delta$ se encuentra en $H^{-1}$ pero no del todo en $L^2$ . Así, la teoría general de la distribución hizo $\delta$ "legal", pero en sí mismo no lograba dar cuenta de la maravillosa intuición de Dirac.

(Sí, hoy en día los cursos estándar nos enseñan a tener un punto de vista a veces demasiado estrecho, lo que proporciona una excusa para limitarse a descartar buenas ideas como "no rigurosas" en lugar de averiguar cómo legitimarlas. La utilidad de las ideas "no rigurosas" de Heaviside y Dirac superaba la dificultad de justificación a los ojos de todos, excepto de los matemáticos, quizás. Es decir, si uno parece ser capaz de "obtener siempre la respuesta correcta" (con corroboración física), es difícil tomar en serio una objeción de que uno no estaba jugando limpio, sobre todo cuando lo "limpio" es según reglas que fueron inventadas por alguien).

Answer 2

En primer lugar: olvida todo lo que "sabes" sobre $\delta$ . Lo que sigue no es nada riguroso, al fin y al cabo parece que no estás acostumbrado a las matemáticas rigurosas, probablemente seas un físico o algo así. No te diré las cosas técnicas, por esta razón (si insistes, lo haré por supuesto). Por función me refiero a una función definida en toda la recta real, que tiene valores en la recta real también.

Permítanme decir desde el principio que no hay ninguna función $\delta$ tal que $$f(0)=\int_{\mathbf{R}} f(x)\delta(x)dx$$ para todas las funciones $f$ La demostración no es demasiado difícil (se deduce, por ejemplo, del lema fundamental del cálculo de variaciones).

Sin embargo, muchos libros de texto de física definen una función $\delta(x)$ por esta propiedad (o por algo como $\delta(x)=0$ para $x\neq 0$ y $\delta(0)=\infty$ y luego argumentar de alguna manera que esta función tiene la propiedad anterior, lo cual es falso, la integral sería cero siempre, ya que no le importa un solo punto, como $0$ ), aunque ni siquiera existe. Lo mismo ocurre con su "definición" (mediante esta integral, que no existe). No puedo decir por qué lo hacen, después de todo esto es ficción.

La cuestión es que el $\delta$ no es una función "ordinaria" (definida en la recta real), sino una distribución . Ahora una distribución es un mapa lineal $\varphi:X\rightarrow\mathbf{R}$ (también continua, en algún sentido) definida en un espacio $X$ de las llamadas funciones de prueba. (Linealidad significa simplemente $\varphi(\alpha f+\beta g)=\alpha\varphi(f)+\beta\varphi(g)$ para todos los reales $\alpha$ y $\beta$ y todos $f,g\in X$ ; la continuidad es de alguna manera más delicada). Estas funciones de prueba son "bonitas" en el sentido de que siempre se considera que son infinitamente diferenciables y que tienen alguna condición de decaimiento. Dos espacios de funciones de prueba son los siguientes (i) El espacio de Schwartz $S$ (cuya condición de decaimiento es esencialmente que las funciones en $S$ - y todas sus derivadas- desaparecen más rápido que la inversa de cualquier polinomio), por ejemplo $\exp(-x^2)\in S$ o (ii) el espacio $C^\infty_0$ de funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto (soporte compacto significa que las funciones desaparecen idénticamente fuera de algún conjunto acotado). Obsérvese que $C^\infty_0\subset S$ . Uno requiere que estas funciones tengan las propiedades anteriores (que son bastante restrictivas), porque uno quiere tener tantas distribuciones como sea posible. Las distribuciones "habituales" son las definidas en $C^\infty_0$ y los definidos en $S$ se dice que son "templadas". Toda distribución atemperada es una distribución habitual, pero no a la inversa. Las distribuciones templadas son útiles, ya que se pueden definir sus transformadas de Fourier, por ejemplo.

Ahora podemos definir una distribución $\delta$ en un espacio dado de funciones de prueba $X$ por $\delta(f)=f(0)$ . $\delta$ actúa así sobre una función de prueba $f$ evaluándolo en $0$ . Ahora bien, si para algunas distribuciones $D$ existe una función ordinaria $d$ tal que $D(f)=\int_\mathbf{R}d(x)f(x)dx$ (esta integral debe existir, por supuesto, para todos los $f\in X$ por esta razón, $C^\infty_0$ es mucho más conveniente aquí), entonces $D$ se dice que es regular. Ahora $\delta$ se sabe que no es regular (que es simplemente lo que he escrito arriba).

Ahora podemos definir las derivadas distributivas. Si $D$ es una distribución, queremos definir otra distribución $D'$ su derivada distributiva. Esto se hace declarando $D'$ por $(D')(f)=-D(f')$ ; de forma más general, el $n$ -a derivada distributiva $D^{(n)}$ de $D$ se define por $(D^{(n)})(f)=(-1)^n D(f^{(n)})$ . Esto está bien, ya que asumimos que las funciones de prueba $f$ para ser infinitamente diferenciable; se deduce que las distribuciones son infinitamente diferenciables (en otro, en este sentido). Nótese el signo menos. Esto se debe a que queremos que las derivadas distributivas amplíen la derivada ordinaria, nótese que si $d$ es diferenciable, $\int_\mathbf{R}d'(x)f(x)dx=-\int_\mathbf{R}d(x)f'(x)dx$ ya que el término de frontera desaparece por la condición de decaimiento impuesta a las funciones de prueba $f$ .

Así que podemos diferenciar $\delta$ de la siguiente manera: $(\delta')(f)=-\delta(f')=-f'(0)$ .

Answer 3

$\delta$ no es estrictamente una función. Si se utiliza como una función normal, no asegura llegar a resultados consistentes. Aunque es matemáticamente rigurosa $\delta$ función no suele ser lo que quieren los físicos. La función de los físicos $\delta$ es un pico con una anchura muy pequeña, pequeña comparada con otras escalas del problema pero no infinitamente pequeña. Así que lo que hago a tal inconsistencia de $\delta$ es caer en un pico de anchura finita, digamos una gaussiana o lorentziana, hacer las integrales y tomar la anchura límite $\to$ cero sólo en el último paso.

Answer 4

Respondo porque no puedo comentar.

Para los ingenieros o los físicos, la función delta de Dirac y sus similares se introducen a través del enfoque integral, sin utilizar realmente la teoría de las distribuciones. Esto es un poco poco poco riguroso; pero para los profesionales ajenos a las matemáticas simplemente no es viable estudiar la teoría matemática completa.

Podemos ayudarte con la manipulación de la integral, pero necesitamos saber con qué integral precisa estás tratando. La "forma general" que has citado aquí es esencialmente inviable para nosotros. Mi suposición aproximada sería que algún tipo de integración por partes volverá a poner la derivada del delta dentro de la integral. En cualquier caso, ¡buena suerte!

Answer 5

$\delta$ es una función no estándar. Puede expresarse con las nociones del Análisis No Estándar de forma muy parecida a la intuición del físico.