La propiedad de los módulos a través de secuencias exactas

Question

Supongamos $A\neq 0$ es un anillo conmutativo con $1$. Deje $L, M, N$ $A$- de los módulos de que la secuencia $$0\longrightarrow L\overset{\alpha}{\longrightarrow} M\overset{\beta}{\longrightarrow} N\longrightarrow 0$$ es exacto. Además supongamos $P$ es de alguna propiedad de un $A$-módulo (por ejemplo, $P$ = Noetherian, Artinian, finitely generados, etc.) Ahora, voy a decir $P$ está "en el medio de la propiedad" si se cumple lo siguiente: $$ M \textrm{ satisface la propiedad } P \Longleftrightarrow L \textrm{ y } N \textrm{ satisface la propiedad }P. $$

El uso de esta terminología, en la "Licenciatura Álgebra Conmutativa" por miles Reid, está demostrado que (en la página 53) la propiedad $P$ = Noetherian es "el medio de la propiedad". Tengo las siguientes preguntas

1) ¿existe un nombre estándar para lo que he llamado "medio de la propiedad"?

2) ¿cuáles son algunos otros ejemplos de "medio-propiedad"? Me han comentado por encima de que se Noetherian es "el medio de la propiedad". Se Artinian, libre, finitely generado, tv, proyectiva, inyectiva, etc. también "en el medio de la propiedad"?

Me doy cuenta de que he puesto montón de preguntas por ahí. Responder a cualquiera de ellos es muy apreciado :) Básicamente, me gustaría tener una lista de importantes "medio-propiedades".

Gracias.

Edit. Me acabo de dar cuenta lo siguiente: Si $A$ es un Noetherian anillo, entonces la propiedad $P$ = "finitely-generado" es también "el medio de la propiedad". De hecho, se Noetherian y finitely generados son equivalentes para los módulos a través de Noetherian anillos (Ver Corolario 3.5 en la parte (ii) en la "Licenciatura Álgebra Conmutativa" por miles Reid, página 53). De modo que las respuestas que ilustran el "medio-propiedad" para la clase particular de los anillos también son bienvenidos.

Answer 1

1. Las correspondientes subcategorías de los módulos se llaman gruesa subcategorías.

2. Artinian y noetherian módulos satisfacen esta propiedad, se puede comprobar de manera directa. La breve secuencia exacta $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{p} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p \to 0$ ( $p>1$ ) muestra que libres, proyectivos y tv de módulos no satisfacen la propiedad. También falla para inyectiva módulos (ver el $0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to 0$) y para finitely módulos generados (tomar algunos no noetherian anillo de $A$, algunos no finitely generado ideal $I$ y ver el $0 \to I \to A \to A/I \to 0$).

Answer 2

Artinian es un "medio de la propiedad". Creo que el resto de las propiedades que se mencionan no son "medio-propiedades".