Pero, ¿cómo podemos inferir la existencia de una desenfrenada continua en el espacio a sabiendas de que sólo sobre algunos secuencia de puntos en este espacio
Mediante el uso de la secuencia para la construcción de una desenfrenada función continua.
Desde la secuencia de la llamada es de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ - no tiene convergente larga, cada punto se produce sólo un número finito de veces en la secuencia. De pasar a la larga, podemos suponer que todos los $x_n$ son distintos.
Por cada $m\in\mathbb{N}$, la distancia de $x_m$ para el resto de la secuencia es positivo,
$$\delta_m := \inf \left\{ d(x_m,x_k) : k \in \mathbb{N}\setminus \{m\}\right\} > 0,$$
si $\delta_m = 0$, entonces $(x_n)$ iba a tener una larga convergencia de $x_m$.
Ahora considere las funciones
$$f_m(x) = \left(1 - \frac{3}{\delta_m}d(x_m,x)\right)^+,$$
donde $u^+$ es la parte positiva de $u$, $u^+ = \max \{u,0\}$. Estas funciones son continuas desde el máximo de dos funciones continuas es continua. La función
$$f(x) = \sum_{m=0}^\infty m\cdot f_m(x)$$
es decir, si bien definidas, sin límites, ya que $f(x_m) \geqslant m$.
Queda por ver que $f$ es bien definida y continua. Que sigue si podemos demostrar que todos los puntos $x\in X$ tiene un barrio en el que en la mayoría de los una de las $f_m$ alcanza valores de $a\neq 0$.
Si $x = x_m$ $m\in\mathbb{N}$, entonces $f_k\lvert B_{\delta_m/3}(x_m) \equiv 0$ para todo $k\neq m$: Supongamos que tenemos $f_k(y)\neq 0$ $y\en B_{\delta_m/3}(x_m)$ y $k\neq m$. Entonces
$$\max \{\delta_k,\delta_m\} \leqslant d(x_m,x_k) \leqslant d(x_m,y) + d(y,x_k) \leqslant \frac{\delta_m}{3} + \frac{\delta_k}{3} \leqslant 2\frac{\max \{\delta_m,\delta_k\}}{3} < \max \{\delta_k,\delta_m\},$$
de modo que es imposible.
Si $x \neq x_m$ para todo $m$, el argumento es similar. Deje que $\delta = \inf \{ d(x,x_n) : n\in\mathbb{N}\}$. Entonces $\delta > 0$ de lo contrario la secuencia de tener una larga convergencia de $x$. A continuación, en $B_{\delta/4}(x)$ en más de un $f_m$ se puede alcanzar un valor distinto de cero. Supongamos de nuevo no fuera así, y también $f_k$ alcanzó un valor distinto de cero allí. Entonces tenemos $y,z \in B_{\delta/4}(x)$ con $f_m(y) \neq 0$ y $f_k(z) \neq 0$. Eso implica que $\frac{3}{4}\delta < \frac{1}{3}\min \{ \delta_m,\delta_k\}$ desde $d(y,x_m) \geqslant d(x,x_m) - d(x,y) \geqslant \frac{3}{4}\delta$ y lo mismo para $x_k$. Pero entonces tendríamos
$$0 < \max \{ \delta_m,\delta_k\} \leqslant d(x_m,x_k) \leqslant d(x_m,y) + d(y,z) + d(z,x_k) \leqslant \frac{\delta_m}{3} + \frac{1}{2}\delta + \frac{\delta_k}{3} < \max \{\delta_m,\delta_k\}.$$
Puesto que cada punto tiene una vecindad en la que en la mayoría de los $f_k$ no de forma idéntica, se desvanecen, $f$ es bien definida y continua.
