Recordando resultado del tensor de producto de polinomio anillos

Question

Deje $k$ ser un campo (alg cerrado, si lo desea). Ahora vamos a $I_{i}$ a ser un ideal de a $k[x_{i}]$ por cada $i \in \{1,2,\ldots,n\}$. Es cierto siempre que:

$$k[x_1,x_2,\ldots,x_n]/ \langle I_1,I_2,\ldots,I_n \rangle \cong k[x_1]/I_1 \otimes_k k[x_2]/I_2 \otimes_k \cdots \otimes_k k[x_n]/I_n$$

Answer 1

Parece?

Componer la inclusión natural $k[x_i] \rightarrow k[x_1, ..., x_n]$ con el cociente mapa; el núcleo es sólo $I_1$. Así que la característica universal del tensor de productos induce un mapa desde el lado derecho al lado izquierdo.

El mapa en la dirección que se toma un monomio para el correspondiente producto tensor, y se extiende linealmente. Es simple comprobar que estos son inversos.