¿Cuál es la diferencia entre homomorfismo e isomorfismo?

Question

Dejemos que $G$ y $H$ sean dos grupos, y $f$ un mapa de $G$ a $H$ ( $\forall g\in G \Rightarrow f(g)\in H$ ). Entonces $f$ es un homomorfismo si $\forall g_1,g_2\in G \Rightarrow f(g_1g_2)=f(g_1)f(g_2)$ . Esto significa que $G$ y $H$ son algebraicamente idénticos.

El isomorfismo es un homomorfismo biyectivo.

Veo que el isomorfismo es más que el homomorfismo, pero no entiendo muy bien su poder. Cuando oímos hablar de biyección, lo primero que nos viene a la mente es el homeomorfismo topológico, pero aquí estamos hablando de estructuras algebraicas, y los espacios topológicos no son estructuras algebraicas.

Entonces, ¿cuál es el "poder" que nos lleva a definir el isomorfismo como un caso especial de homomorfismo?

Answer 1

Los isomorfismos capturan la "igualdad" entre objetos en el sentido de la estructura que se está considerando. Por ejemplo, $2 \mathbb{Z} \ \cong \mathbb{Z}$ como grupos, lo que significa que podríamos reetiquetar los elementos en el primero y obtener exactamente este último.

Esto no es cierto para los homomorfismos - los homomorfismos pueden perder información sobre el objeto, mientras que los isomorfismos siempre conservar toda la información. Por ejemplo, el mapa $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/ 2\mathbb{Z}$ dado por $z \mapsto z \text{ mod 2}$ pierde una tonelada de información pero sigue siendo un homomorfismo.

Alternativamente, los isomorfismos son homomorfismos invertibles (de nuevo haciendo hincapié en la preservación de la información - se puede revertir el mapa y volver atrás).

Answer 2

A diferencia de lo que ocurre en otras áreas de las matemáticas, hablar de los grupos como conjuntos y decir que (como conjuntos) están en biyección unos con otros no es enormemente útil. Por ejemplo, los elementos de $Q_8$ y $C_8$ están ciertamente en biyección entre sí, pero una es cíclica y la otra ni siquiera es abeliana. Por eso los homomorfismos son importantes cuando se estudian las estructuras algebraicas; buscamos mapas que conservar la estructura algebraica subyacente hasta cierto punto.

El isomorfismo significa que las estructuras son "iguales"; no podemos distinguirlas realmente si sólo se nos da información abstracta sobre sus elementos y sobre cómo éstos actúan entre sí.

Esto es mucho más fuerte que el hecho de que un grupo sea imagen homomórfica de otro, porque se puede perder mucha información sobre un grupo en el núcleo de un homomorfismo (basta con tomar $\pi : G \rightarrow G/N$ para cualquier grupo $G$ y algún cociente del mismo).

Answer 3

La biyectividad es una gran que permite identificar (¡hasta los isomorfismos!) los grupos dados.

Además, un homomorfismo biyectivo de grupos $\varphi$ tiene inversa $\varphi^{-1}$ que también es automáticamente un homomorfismo. Se trata de una propiedad no trivial, que comparten, por ejemplo, los morfismos lineales biyectivos de espacios vectoriales sobre un campo.

Si consideramos la topología, las cosas cambian mucho. Si nos dan un mapa continuo biyectivo $f: X\rightarrow Y$ entre espacios topológicos $X$ y $Y$ la inversa $f^{-1}$ no es continua en general. Se puede construir fácilmente un ejemplo de este hecho considerando el mapa de identidad $1:(X,\mathcal D)\rightarrow (X,\mathcal T)$ donde $\mathcal D$ resp. $\mathcal T$ denotan la topología discreta o trivial en $X$ . La inversa es de nuevo el mapa de identidad, que no es continuo con respecto a las topologías dadas en $X$ .

Answer 4

Es cierto que los isomorfismos se llevan muy bien con los dos objetos específicos que relacionan, lo que los convierte, para la mayoría de los isomorfismos, en "idénticos hasta la denominación" (iguales hasta el isomorfismo). Un punto importante es que lo que hace un isomorfismo en cada área de las matemáticas está diseñado específicamente en mente para preservar esas propiedades. En general el isomorfismo necesita la parte "iso" que significa función biyectiva, para poder corresponder exactamente cada elemento de uno con uno del otro. También preservan otra información crucial, en el caso de la teoría de grupos, por ejemplo, preservan el producto de dos elementos, que resulta ser todo lo que uno necesita saber sobre un grupo para hacer cualquier afirmación sobre él.