¿Cuál es el significado exacto de la frase siguiente?

Question

He leído la siguiente frase en mi libro.

Deje $\Phi$ ser una función convexa que es finito en el intervalo de $I$ que contiene el rango de la función $g$ e infinito en otros lugares, y deje $\phi$ ser una determinación arbitraria de su derivada (es decir, tener en una "esquina" cualquier valor entre la izquierda y la derecha derivados), definidos y finitos en $I$.

¿Cuál es el significado de "tener a un 'corner' cualquier valor entre la izquierda y la derecha derivados"?

Answer 1

La única manera de que una función convexa puede no ser diferenciable en un punto es tener una "esquina" como la de la $|x|$$0$. La derivada de esa función es $-1$$x < 0$$+1$$x > 0$. Esos son los valores de la izquierda y la derecha derivados a $0$. Ya que son diferentes no hay ningún derivado en $0$. La cita dice que, a los efectos que tiene en mente usted puede elegir cualquier valor entre $-1$ $+1$ para la derivada en $0$.

Answer 2

Una "esquina" se produce si la derivada de la izquierda difiere de la derivada por la derecha.

En tales posiciones, la función no es diferenciable.

Un ejemplo sencillo es $f(x)=|x|$$x_0=0$.

Para$x>0$,$f(x)=x$, por lo tanto $f'(x)=1$

Para$x<0$,$f(x)=-x$, por lo tanto $f'(x)=-1$

Así, el límite de $x\rightarrow 0$ no existe.

Answer 3

La función convexa $\Phi$ tiene a la derecha y a la izquierda derivados $\Phi'_+(x)$ $\Phi'_-(x)$ en cada punto de $x$ en el interior de $I$. Tanto en $\Phi'_+$ $\Phi'_-$ es no-decreciente, $\Phi'_+(x-)=\Phi'_-(x)$ $\Phi'_-(x+)=\Phi'_+(x)$ todos los $x$ en el interior de $I$. De ello se desprende que $\Phi'_-(x)\le\Phi'_+(x)$ con la igualdad, excepto en los contables conjunto de $x$ los valores de $\Phi'_+$ tiene una discontinuidad de salto. Una "esquina" se refiere a una $x$$\Phi'_-(x)<\Phi'_+(x)$. Parece que el autor de su libro iba a tener que tomar la $\phi(x)=\Phi'_+(x)$ si $\Phi'_+(x)=\Phi'_-(x)$, e $\phi(x)$ cualquier punto de $[\Phi'_-(x),\Phi'_+(x)]$ si $\Phi'_-(x)<\Phi'_+(x)$.

Answer 4

La declaración de que $\phi$ es "una determinación arbitraria de su derivado" significa que si $x \in I$, $\phi(x) \in \partial \Phi(x)$ donde $\partial \Phi(x)$ es el subdifferential de $\Phi$$x$.

Editar:

Debería haber explicado lo que "subdifferential". Si una función convexa $f:\mathbb R^n \to \mathbb R \cup \{\infty\}$ es finito y diferenciable en a $x_0$, entonces se puede demostrar que $f(x) \geq f(x_0) + \langle \nabla f(x_0),x - x_0 \rangle$ todos los $x \in \mathbb R^n$. Incluso si $f$ no es diferenciable en a $x_0$, generalmente existen vectores $g$ tal que $$ \etiqueta{$\spadesuit$} f(x) \geq f(x_0) + \langle g, x - x_0 \rangle \quad \text{para todo } x \in \mathbb R^n. $$ Un vector $g$ a que esta propiedad se denomina un "subgradiente" de $f$$x_0$. Así que incluso si $f$ no tiene un gradiente en $x_0$, al menos $f$ ha subgradients en $x_0$, y que es mejor que nada.

El conjunto de todos los subgradients de $f$ $x_0$ se llama la subdifferential de $f$$x_0$, y se denota $\partial f(x_0)$. Por ejemplo, supongamos $f:\mathbb R \to \mathbb R$ tal que $f(x) = | x |$ todos los $x \in \mathbb R$. A continuación,$\partial f(0) = [-1,1]$.

Se puede demostrar que, bajo suave supuestos, una función convexa $f$ es diferenciable en a $x_0$ si y sólo si $\partial f(x_0)$ es un singleton. En este caso, $\partial f(x_0) = \{ \nabla f(x_0) \}$.

Answer 5

La derecha y la izquierda de los derivados de la $\Phi$ a un punto de $a$ en el dominio de $\Phi$ son, respectivamente, \begin{align} & \lim_{\Delta x\,\downarrow\,a} \frac{ \Phi(a+\Delta x) - \Phi(a) }{\Delta x} \\[10pt] \text{and } & \lim_{\Delta x\,\uparrow\,a} \frac{ \Phi(a+\Delta x) - \Phi(a) }{\Delta x} \end{align} Con una función convexa, la izquierda derivada en un punto es siempre menor o igual que el derecho derivado. En la mayoría de los puntos son iguales. Un punto en que no son iguales es una "esquina". Si hay un rincón en el que la izquierda derivada es $3$ y el derecho derivado es $4$, luego se va a asignar a $\varphi$ en ese punto, algunos de valor arbitrario no menos de $3$ y no mayor de $4$.