¿La serie $\sum_{n\ge1}\int_0^1\left(1-(1-t^n)^{1/n}\right)\,dt$ convergen?

Question

He aquí una pregunta que me he estado trabajando, hace un par de años. Yo no sé cómo resolverlo, pero estoy convencido de que merece, al menos, otro punto de vista ...

Voy a publicar mi propia solución pronto (dentro de una semana, a lo más) y tengo la esperanza de que - mientras tanto - la gente lo sugieren diversos enfoques.

Considere, por todos los $n\in\mathbb{N^\star}$ :

$$u_n=\int_0^1\left(1-(1-t^n)^{1/n}\right)\,dt$$

¿La serie $\sum_{n\ge 1}u_n$ convergen ?

Answer 1

Tenemos

$$\begin{align} (1-t^n)^{1/n}&=e^{\frac1n \log(1-t^n)}\\\\ &\ge 1+\frac1n\log(1-t^n) \end{align}$$

a partir de la cual

$$\begin{align} \int_0^1 (1-t^n)^{1/n}\,dt&\ge 1+\frac1n \int_0^1 \log(1-t^n)\,dt\\\\ &=1+\frac1{n^2} \int_0^1 \frac{\log(1-t)}{t}t^{1/n}\,dt\\\\ &\ge 1+\frac{1}{n^2}\int_0^1 \frac{\log(1-t)}{t}\,dt\\\ &= 1-\frac{\pi^2}{6n^2} \end{align}$$

Por lo tanto,

$$0\le \int_0^1 \left(1-(1-t^n)^{1/n}\right)\,dt\le \frac{\pi^2}{6n^2}$$

Por la prueba de comparación, la serie converge.

Answer 2

Aquí es un lugar elementales de la solución.

Observe que $u_n$ es el área de la región $D$ en la unidad de la plaza de $[0,1]^2$ definido por $x^n + y^n \geq 1$. Ahora vamos a $a_n = 2^{-1/n}$ y nos dividimos $D$ en tres partes,

• $D_1 = \{(x, y) \in [0,1]^2 : x^n + y^n \geq 1 \text{ and } x \leq a_n \}$
• $D_2 = \{(x, y) \in [0,1]^2 : x^n + y^n \geq 1 \text{ and } y \leq a_n \}$
• $D_3 = \{(x, y) \in [0,1]^2 : x, y \geq a_n \}$

$\hspace{8em}$

Entonces es fácil comprobar que $D = D_1 \cup D_2 \cup D_3$ y ellos son los que no se superponen. También, aprovechando la simetría, comprobamos que $D_1$ $D_2$ tienen la misma área. Por lo que se deduce que

$$\begin{align*} u_n &= 2\text{[Area of %#%#%]} + \text{[Area of %#%#%]} \\ &= 2\int_{0}^{a_n} (1 - (1-x^n)^{1/n}) \, dx + (1 - a_n)^2. \end{align*}$$

Desde $D_1$, el plazo $D_3$ es bueno. Para la integral plazo, aviso que para $a_n = 1 - \mathcal{O}(\frac{1}{n})$,

$$\begin{align*} 1 - (1-x^n)^{1/n} &= 1 - e^{\frac{1}{n}\log(1-x^n)} \stackrel{\text{(1)}}{\leq} -\frac{1}{n}\log(1-x^n) \\ &= \int_{0}^{x} \frac{t^{n-1}}{1-t^n} \, dt \stackrel{\text{(2)}}{\leq} \int_{0}^{x} 2t^{n-1} \, dt \\ &= \frac{2}{n}x^n. \end{align*}$$

Para $(1-a_n)^2$, se utilizó la desigualdad $x \in [0, a_n]$ que vale para todo real $\text{(1)}$. La segunda desigualdad $e^t \geq 1 + t$ se deduce del hecho de que $t$$\text{(2)}$. Así

$1-t^n \geq \frac{1}{2}$$

Esto demuestra la convergencia de $t \in [0,a_n]$.

Answer 3

Utilizando la función Beta de Euler, sencillamente se le preguntó acerca de la convergencia de $$\sum_{n\geq 1}\left(1-\frac{\Gamma\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^2}{\Gamma\left(1+\tfrac{2}{n}\right)}\right)$$ donde $\Gamma(1+x)$ es una función regular, en un barrio de $x=0$. Desde $$\log\Gamma(1+x) = -\gamma x+\frac{\zeta(2)}{2!}x^2-\frac{\zeta(3)}{3}x^3+\frac{\zeta(4)}{4}x^4-\ldots$$ tenemos que $$1-\frac{\Gamma\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^2}{\Gamma\left(1+\tfrac{2}{n}\right)} \sim \frac{\pi^2}{6n^2}$$ así que el dado de la serie es convergente para asegurarse. Geométricamente, estamos diciendo que si $A_n$ es el área de la región en el $[0,1]\times[0,1]$ cuadrado dado por $x^{n+1}+y^{n+1}\leq 1 \leq x^n+y^n$, luego $$A_1+2A_2+3 A_3+\ldots$$ es una serie convergente. Que puede ser probado por medio elemental, demasiado.