¿Hay alguna razón profunda que especial trigonométricas de ángulos son una secuencia de raíces de números enteros?

Question

Todos estamos familiarizados con ciertos valores especiales del pecado y de la cos, por ejemplo,$\sin(30^\circ)=0.5$, $\sin(45^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ etc. En la escuela secundaria me encontré con estos valores difíciles de recordar, hasta que me di cuenta de que podría ser reformulada como este patrón:

$$\sin(0^\circ)=\frac{\sqrt{0}}{2}$$

$$\sin(30^\circ)=\frac{\sqrt{1}}{2}$$

$$\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\sin(90^\circ)=\frac{\sqrt{4}}{2}$$

Esto ha me ha estado molestando durante años desde entonces. Sé que a esperar que haya alguna causa profunda de los patrones cuando los veo a ellos, pero no tengo idea de lo que hace que estas común especial de los valores de los ángulos a ser la mitad-raíces de números enteros, o si este patrón es simplemente un caso especial de una noción más general de especial trigonométricas de ángulos.

¿Cuál es la explicación? ¿Por qué debería ser así?

Answer 1

Los intervalos entre los ángulos no son uniformes. De alguna manera matemática de coincidencia:

Desde $\sin (90^{\circ}-\theta)=\sqrt{1-\sin^{2} \theta}$,

$$\sin 0^{\circ}=\frac{\sqrt{0}}{2} \iff \sin 90^{\circ}=\frac{\sqrt{4}}{2}$$

$$\sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt{1}}{2} \iff \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Podríamos inventar un mnemónico de esta manera:

$$\sin 35.26^{\circ}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$$

$$\sin 54.74^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

Estos ángulos se refieren a tetraedro y son especiales ángulos de otra manera.

La comparación de la $\color{green}{\textbf{fitting curve}}$ $\color{red}{\boldsymbol{\sin \dfrac{\pi x}{12}}}$ a continuación:

Answer 2

Insatisfactoria explicación: $\sin: [0,\pi/2]\to [0,1]$ es monótonamente creciente homeomorphism, de modo que usted siempre será capaz de encontrar valores que resuelven $\sin(a)=b$ $b\in[0,1]$ y si usted escoge $b$ a ser una secuencia como $\frac{\sqrt{k}}{n}$ donde $k$ pistas de$0$$n^2$, vas a ver el mismo tipo de espejo progresión en los ángulos,$\sin^2(x)+\sin^2(\pi/2-x)=1$.

Para mí, la verdadera joya de aquí es que racional múltiplos de $\pi$ dar números algebraicos en $\sin$ $\cos$ (y por lo tanto en $\tan,\sec,\csc,\cot$ donde definido de forma adecuada). He aquí por qué:

Supongamos $\theta$ es un racional múltiples de $\pi$. Se puede escribir como un ser racional múltiples de $2\pi$: $\theta=\frac{2p\pi}{q}$. Por De Moivre la fórmula, tenemos que $(\cos\theta+i\sin\theta)^q=\cos(q\theta)+i\sin(q\theta)=1$, lo $\cos\theta+i\sin\theta$ es algebraica, y así cada una de las $\cos\theta$ $\sin\theta$ son así (si $a+bi$ es algebraica, a continuación, $a-bi$ es también algebraicas, como algebraicness se conserva en el campo automorfismos, y por lo $(a+bi)+(a-bi)=2a$ es algebraica, y por lo tanto desde algebraica de los números de forma un campo, tenemos que $a=\frac{2a}{2}$ y $b=\frac{a+bi-a}{i}$ son algebraicas).

Answer 3

Vamos a hacer una tabla.

$$\begin{array}{ccccc|l}\frac{\sqrt 0}{2}&\frac{\sqrt 1}{2}&\frac{\sqrt 2}{2}&\frac{\sqrt 3}{2}&\frac{\sqrt 4}{2}&\text{sin}\\\hline0&30&45&60&90&\text{angle (deg)} \\0&2&3&4&6&\text{multiple of 15}\\ 1&0&1&0&1&\text{divisible by 45?}\\ 1&1&0&1&1&\text{divisible by 30?}\\\end{array}$$

Por la periodicidad se trata de una combinación de los grupos cíclicos $\frac{360}{45} = 8$ $\frac{360}{30} = 12$ teniendo en cuenta la rotación del generador. Esto significa que vamos a estar en el set $\pm\left\{\frac{\sqrt 0}{2},\frac{\sqrt 1}{2},\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt 3}{2},\frac{\sqrt 4}{2}\right\}$ si empieza desde 0, subconjunto $\pm\left\{\frac{\sqrt 0}{2},\frac{\sqrt 1}{2},\frac{\sqrt 3}{2},\frac{\sqrt 4}{2}\right\}$ si 30 grados y $\pm\left\{\frac{\sqrt 0}{2},\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt 4}{2}\right\}$ si 45 grados. El número teórico de cada número entero de veces 15 grados, que es un múltiplo de 2 o 3. Y con una rotación de 15 grados, podemos obtener un lugar peculiar superposición.