Creo que este excesivo énfasis en la $\omega$ a menudo sirve para confundir a los estudiantes. No me malinterpreten, $\omega$ es importante. $$\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2},$$ and $N(\omega) = 1$, which means that $\omega$ is a unit. And furthermore $\omega$ es un complejo de raíz cúbica de 1.
Vamos a revisar la norma en función de los números de $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$: $$N\left(\frac{a}{2} + \frac{b \sqrt{-3}}{2}\right) = \frac{a^2}{4} + \frac{3b^2}{4}.$$ An algebraic number in $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ is also an algebraic integer if its norm is an integer from $\mathbb{Z}$.
Si tanto $a$ $b$ son incluso, a continuación, $a^2$ $3b^2$ ambos son múltiplos de 4, por lo que al dividir por 4, usted todavía tiene los números enteros.
Si tanto $a$ $b$ son impares, entonces $a^2 \equiv 1 \pmod 4$$b^2 \equiv 1 \pmod 4$. Pero, a continuación,$3b^2 \equiv 3 \pmod 4$, por lo que el $a^2 + 3b^2 \equiv 0 \pmod 4$. Entonces, cuando se divide $a^2 + 3b^2$ 4, usted todavía tiene un número entero.
Ahora, cómo convertir $$m + n \omega = \frac{a}{2} + \frac{b \sqrt{-3}}{2},$$ with $m$ and $n$ both integers from $\mathbb{Z}$?
Bien, $a = 2m - n$$b = n$.
Si tanto $m$ $n$ son aún, no tenemos ningún problema, como $a$ $b$ son así.
Si tanto $m$ $n$ son impares, $a$ $b$ son así.
Si $m$ es extraño pero $n$ es incluso, tenemos $2m$ a y $2m - n$ es aún, por lo $a$ $b$ son tanto incluso como se desee.
Si $m$ es aún sino $n$ es impar, $2m - n$ es impar, por lo $a$ $b$ son ambos impares como se desee.
Para los ejercicios, te sugiero la siguiente: convertir los números $-\omega$, $-2 + \omega$, $3 - \omega$ y $4 + \omega$ $a$ $b$ formulario. También, calcular sus normas. Bonus: calcular la conversión de $m + n \omega^2$.
