¿Generalizar las derivadas / integrales de calc multivariable?

Question

$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ Este es un post largo, así que voy a poner la gran pregunta a la derecha en la parte superior:

Hay un montón de derivada e integral de operaciones similares. Son casos especiales de algunas de las grandes derivado o integral?

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Un montón de derivadas e Integrales, o Esto no es ni Siquiera Mi Forma Final

Cuando me fue presentado por primera vez del cálculo, de la que hemos aprendido tres tipos de derivados/las integrales de una función de variable:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Nombre} & \textbf{Simbólico} & \textbf{Tipo } f \textrm{ ( o } F \textrm{ )} & \textbf{Tipo de Salida} \\ \hline \textrm{Derivados} & \frac{df}{dx} & \RR \a \RR & \RR \a \RR \\ \hline \textrm{Integral Indefinida} & \int f~dx & \RR \a \RR & \RR \(\RR \a \RR) \\ \hline \textrm{Integral Definida} & \int_a^b f~dx & \RR \a \RR & \RR \\ \hline \end{array} $$

Pero en multivariable, nos enteramos de varios tipos nuevos multivariante funciones.

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textrm{Derivada Parcial} & \frac{\partial f}{\partial x} & \RR^n \\RR & \RR^n \\RR \\ \hline \textrm{Gradiente} & \nabla f & \RR^n \\RR & \RR^n \\RR^n \\ \hline \textrm{Área/Volumen Integral}^\ast & \int_A f~dA & \RR^n \\RR & \RR \\ \hline \textrm{Line/Superficie Integral}^{\ast\ast} & \int_\gamma f~ds & \RR^n \\RR & \RR \\ \hline \textrm{Laplaciano} & \nabla^2 f & \RR^n \\RR & \RR^n \\RR \\ \hline \end{array} $$

Cuando consideramos el vector de valores de funciones, tenemos todavía más. (poco $f$ cambiado a grandes $F$ para la convención del amor)

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textrm{Derivada Parcial} & \frac{\partial F}{\partial x} & \RR^n \\RR^m & \RR^n \\RR^m \\ \hline \textrm{Área/Volumen Integral}^\ast & \int_A F~dA & \RR^n \\RR^m & \RR^m \\ \hline \textrm{Line/Superficie Integral}^{\ast\ast} & \int_\gamma F~ds & \RR^n \\RR^m & \RR^m \\ \hline \end{array} $$

Como para el caso especial de $n = m$, un campo de vectores, hemos adicionales derivados/integrales:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textrm{Divergencia} & \nabla \cdot F & \RR^n \\RR^n & \RR^n \\RR \\ \hline \textrm{Curl} & \nabla \times F & \RR^n \\RR^n & \RR^n \\RR^{???} \\ \hline \textrm{Flujo Integral}^\daga & \int_S F \cdot \hat{n}dS & \RR^n \\RR^n & \RR \\ \hline \textrm{Trabajo Integral}^{\daga\daga} & \int_\gamma F \cdot d\vec{r} & \RR^n \\RR^n & \RR \\ \hline \end{array} $$

Y luego está el Jacobiano, que parece como una especie de derivado, sino entre sistemas de coordenadas.

$^\ast~~$ $$ debe tener dimensión exactamente $n$

$^{\ast\ast}~$ $\gamma$ puede tomar cualquier dimensión de menos de $n$

$^\daga~~$ $S$ debe tener dimensión $n - 1$

$^{\daga\daga}~$ $\gamma$ debe tener dimensión $1$

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Observaciones

• Los derivados son todas las funciones.
• Las integrales son sólo escalares y vectores.
  • A excepción de la integral indefinida, pero tal vez los que no pertenecen realmente?
  • O supongo que se podría tratar como las funciones que aceptan una línea/superficie/etc.

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Las cosas Que Son Casos Especiales De Otras Cosas, aka, la Motivación Para Esta Pregunta

• "Normal" los derivados son sólo parciales con $n = 1$.
  • Del mismo modo, las integrales definidas son área/volumen integrales donde $n = 1$.
• Área/volumen integrales parece ser un caso especial de la línea o superficie de las integrales: cuando hago una superficie integral con $$ S un subconjunto de los $xy$-avión, me sale solo el área equivalente integral, pero no puedo comprobar para dimensiones superiores.
• Podemos 'extender' la mayoría de los operadores de las componentes de $f : \RR^n \\RR$ a los operadores en $f : \RR^n \\RR^m$. Ejemplos: en derivadas parciales y de área/volumen/línea/superficie de las integrales.

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Cuestiones menores (es decir, no el grande en la parte superior, pero probablemente contestó por ella):

• ¿Qué pasa con el codominio de la curvatura? Para $n = 2$, $1$, pero para $n = 3$, $3$. Supongo que no se convierta en $5$ en $n = 4$, que parece de alguna manera equivocada. Parece ser que $\binom{n}{2}$, ya que las rotaciones se producen en un plano, y hay $\binom{n}{2}$ formas de seleccionar $2$ vectores de la base para obtener la "base " aviones".
• Las superficies de trabajo y el flujo de las integrales se fija en dimensiones de 1 $$ y $n - 1$. Hay análoga para las dimensiones de en medio?
• Si yo 'extender' el gradiente de una función con valores de vectores donde $m = $ n, luego me sale el Jacobiano. Pero lo que si $m \ne$ n? Todavía puedo calcular, pero no es una transformada de coordenadas, ni tiene un factor determinante. No esta de Jacobina-como los derivados tienen algún significado? De acuerdo a Wikipedia, el Jacobiano de $F$ en el punto $p$ es "la mejor aproximación lineal de la función $F$ en el punto $p$".

EDIT: dos de ellos tienen sentido ahora!

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Gracias por leer todo este camino! Me siento acerca de la longitud; esto es algo que me molestó bastante desde que aprendí multivariable, y me parece que no puede obtener de cualquier menor. Si es demasiado amplio, podría simplemente me apunte en la dirección de un útil libro de texto?

Answer 1

Voy a intentar mi mejor esfuerzo para dar algunas respuestas, aunque definitivamente, no soy un experto. Como dijo Martin, muchas de estas integrales que hemos hablado, así como de ciertas integral de las identidades (FTC, el teorema de Stokes, de Gauss teorema) puede considerarse equivalente a una forma general del teorema de Stokes establecido en los términos de formas diferenciales en las suaves y colectores. Una buena referencia sería Spivak, o Lee "Introducción a la Suave Colectores", que pasa la mayoría del libro el desarrollo de formas diferenciales y, eventualmente, de Rham cohomology. Otra fuente es Rudin "Principios de Análisis Matemático", que habla acerca de las formas diferenciales en $\Bbb R^n$.

Algunas referencias adicionales: http://www.math.ucla.edu/~tao/memorias/formas.pdf- En este "papel" de Terry Tao introduce las tres formas de la integral inicialmente identificados y habla sobre cómo todos ellos generalizar a diferentes cosas. Este trabajo realmente abre mis ojos, y yo sugiero la lectura, el Tao es un increíble expositor.

Algo que personalmente podría encontrar lindos: http://math.bu.edu/people/sr/articles/book.pdf

Aquí hay un enlace a Steve Rosenberg del libro "El Laplaciano en un Colector de Riemann". En el primer capítulo se analiza cómo las formas diferenciales y el exterior derivado de generalizar el estándar de $d/dt$ operador de las funciones de la línea real. Entonces va a mencionar que no es la generalización de la segunda derivada para general suave de colectores, y usted necesita el adicional de la estructura de una métrica de Riemann, que a grandes rasgos permite medir las longitudes de los vectores de tangentes, y por lo tanto para definir las longitudes de las rutas, etc. Resulta que el Laplaciano es el más simple diferencial operador puede definir en una de Riemann colector, y conduce a la increíble teoremas como el de Atiyah-Singer índice teorema. Me temo que no sé mucho acerca de ella, o tiene mucho más para agregar, pero espero que esto te mantendrá feliz y ocupado.

Answer 2

$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\dp}[2]{\frac{\partial #1}{\parcial #2}} \newcommand{\vect}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}$ En una sola variable de cálculo, un montón de conceptos colapso a la misma cosa. Para generalizar hasta multivariable es difícil.

Usted necesitará estas definiciones:

• $k$-forma: Una corriente alterna, multilineal mapa de $V^k$ a $R$, donde $V$ es un espacio vectorial sobre $\RR$.
• diferencial de $k$-forma: Un mapa de tu dominio (ya sea $\RR$, $\RR^3$, o un toro), $k$-formas. A veces llamado $k$-forma, de manera confusa.
• la cuña de producto ($\wedge$): $k$y $\ell$-forma, y escupe un $(k + \ell)$-forma; asociativo y bilineal.
• el exterior de derivados ($d$): $k$-forma, escupe un $k+1$-formas; lineal.

Algunas propiedades son buenos para conocer, pero difícil de probar. Si $f$ es una función, $\omega$ es un $k$, y $\eta$ es un $\ell$ form,

• $\omega \wedge \eta = (-1)^{k\ell} (\eta \wedge \omega)$
• $df$ es un $1$de forma que, en cada punto $p$, toma $h$ $h \cdot \nabla f(p)$
• $d(d\omega) = 0$
• $d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta + (-1)^k (\omega \wedge d\eta)$

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El método estándar para multivariable es todo acerca de la integración de escalar o vectorial de los campos. Pero resulta que no es el mejor enfoque. Realmente, desea ser la integración de formas diferenciales.

Cuando usted hace una integral de línea, usted toma su camino y lo cortamos en pequeños segmentos de línea. A continuación, tome cada segmento de línea, y el punto en contra de su vector de campo para obtener un escalar. La suma de todas estas escalares le da el valor final. Integración en $k$-formas es similar. Usted toma su superficie (de dimensión $k$) y se corta en parallelepipeds. Tapón de aquellos que en su $k$-forma, y sume el resultado escalares. (Por supuesto, se toma el límite de las infinitamente pequeñas piezas, como de costumbre.)

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Así que las integrales. ¿Qué acerca de los derivados? Desde las cosas que integramos son formas diferenciales, que es lo que las salidas de div grad, y curl mejor que ser.

Con el enfoque clásico:

• grad: campo escalar de vectores de campo
• curl: vector de campo a campo vectorial
• div: vector de campo a campo escalar

No hay nada intrínsecamente malo con eso, pero es torpe y difícil generalizar $$ n dimensiones. En secreto, están todo el exterior de la derivada, pero especialmente para los valores de $k$:

• grad: $0$forma $1$-formulario
• curl: $1$forma $2$-formulario
• div: $2$forma $3$-formulario

Desde estudiantes de secundaria, probablemente, no como $k$-formas, la gente hace uso de algunas dualidades para convertirlos en escalar o vectorial de los campos. Pero este fracturas en el exterior derivado (un solo operador) en $\nabla$ y todos sus parientes. La correspondencia entre $d$ y $\nabla$ se hace más convincente con ejemplos (prueba!):

Grad: $$ df = \pd{f}{x} dx + \pd{f}{y} dy + \pd{f}{z} dz \\ \nabla f = \vect{\pd{f}{x}, \pd{f}{y}, \pd{f}{z}} $$

Curl: $$ d ( M dx + N dy + P dz ) = \left( \pd{P} de{y} - \pd{N}{z} \right) (dy \wedge dz) + \left( \pd{M}{z} - \pd{P}{x} \right) (dz \wedge dx) + \left( \pd{N}{x} - \pd{M}{s} \right) (dx \wedge dy) \\ \nabla \times \vect{M, N, P} = \vect{ \left( \pd{P} de{y} - \pd{N}{z} \right) \left( \pd{M}{z} - \pd{P}{x} \right) \left( \pd{N}{x} - \pd{M}{s} \right)} $$

Div: $$ d [M (dy \wedge dz) + N (dz \wedge dx) + P (dx \wedge dy)] = \left( \pd{M}{x} + \pd{N} de{y} + \pd{P}{z} \right) (dx \wedge dy \wedge dz) \\ \nabla \cdot \vect{M, N, P} = \pd{M}{x} + \pd{N} de{y} + \pd{P}{z} $$

Así, en $n$ dimensiones, hay $n$ "sabores" de diferencial. Por ejemplo, en la 4D, grad y div son los mismos, como de costumbre, pero también tenemos dos curl-como mapas: uno de $1$-formas a $2$-formas, el otro de $2$-formas a $3$-formas.

Por último, la guinda del pastel es que lo de Green, Stokes y Gauss teorema de todos colapso a una sola cosa. Vamos $M$ ser un colector, y $\parcial M$ ser su límite. Entonces: $$ \int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega $$

Answer 3

Solo una respuesta parcial aquí.

La integral indefinida, como usted dice, no le pertenece. "Integral indefinida" es sólo un mal nombre (justificado por el Teorema Fundamental del Cálculo, pero sigue siendo un mal nombre) para "antiderivada". Una integral, por otro lado, es un número que se obtiene a partir de una función y una región en el dominio de la función donde se toma el límite de las sumas de "el valor de la función de veces el tamaño de la pequeña región".

También, como usted dice, todas las integrales puede ser visto como la integración de formas diferenciales.