¿Cuándo son negativos los ángulos?

Question

En grados anteriores aprendimos que en un triángulo equilátero, todos los ángulos son de 60 grados. Ahora, en la escuela secundaria, me enseñan que medir los ángulos en sentido contrario a las agujas del reloj y en sentido de las agujas del reloj marca una diferencia.

Entonces, ¿eso significa que en un triángulo equilátero un ángulo es de 60 grados medido en sentido contrario a las agujas del reloj y otro es de -60 grados medido en sentido de las agujas del reloj y... no sé, estoy bastante confundido/a.

¿Cómo entonces suman 180 grados?

Me enseñaron sobre este concepto de ángulo negativo en trigonometría en círculos unitarios, lo entendí muy bien, pero ¿por qué no es aplicable a ninguna figura geométrica?

Parece que me falta algo de sentido común.

Answer 1

El siguiente segmento de línea en la recta numérica tiene una longitud de cuatro.

    ---------
0 1 2 3 4 5 6 7

La siguiente flecha dibujada en la recta numérica representa un desplazamiento de $-4$.

    <--------
0 1 2 3 4 5 6 7

La siguiente flecha dibujada en la recta numérica representa un desplazamiento de $4$.

    -------->
0 1 2 3 4 5 6 7

Puedes hacer lo mismo con los ángulos; a veces solo te importa la magnitud, pero otras veces eliges una orientación: decides en qué pierna del ángulo comienzas y en cuál terminas. Cuando orientamos los ángulos, típicamente elegimos lo contrario a las manecillas del reloj como la dirección positiva, y en sentido de las manecillas del reloj como la dirección negativa.

Aún más interesante es la idea de la posición angular versus el desplazamiento angular. Si consideramos un ángulo cuyo vértice es el origen y una pierna (la pierna inicial) es el eje $x$ positivo, entonces colocar la otra pierna en $270^\circ$ sería el eje $y$ negativo, pero $-90^\circ$ también sería el eje $y$ negativo.

La idea de que $270^\circ$ y $-90^\circ$ representan el mismo ángulo es la idea de posición angular.

Sin embargo, hay una diferencia entre realmente ir contrarreloj alrededor del plano $270^\circ$ desde el eje $x$ positivo hasta el eje $y$ negativo, y girar $90^\circ$ en sentido de las manecillas del reloj (es decir, $-90^\circ$ en sentido contrario a las manecillas del reloj) desde el eje $x$ positivo hasta el eje $y$ negativo. Cuando esta diferencia importa, lo llamamos "desplazamiento angular". ¡Incluso podríamos considerar dar una vuelta completa alrededor del origen para volver al eje $x$ y luego continuar otras tres cuartas partes del camino alrededor: esto sería un desplazamiento de $630^\circ$!

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Como un apéndice, si orientamos las dos patas del ángulo para que apunten en direcciones opuestas con respecto al vértice, entonces usualmente consideramos que la pata que apunta lejos del vértice es la pata inicial, y la pata que apunta hacia el vértice es la pata final.

De esta manera, si orientamos los tres lados de un triángulo de manera que los lados apunten en dirección contrarreloj alrededor del triángulo, entonces todos los ángulos también están orientados en dirección contrarreloj.

Answer 2

En geometría del plano, los 'ángulos negativos' se utilizan al definir ángulos de un par de vectores; es una medida de la rotación necesaria para llevar el primer vector al segundo, de manera que $ \mathrm{angle}(\vec u,\vec v)=-\mathrm{angle}(\vec v,\vec u)$. Como ejemplo en la vida cotidiana, apretar un tornillo no es lo mismo que aflojarlo.

La diferencia entre los ángulos geométricos y los ángulos 'algebraicos' es similar a la diferencia entre un segmento y un vector.

Answer 3

La medición de ángulos negativos no existe. Lo siento.

En una figura geométrica como un triángulo, todos los ángulos tienen una medición positiva.

Así que en un triángulo nuestros ángulos podrían tener medidas de $30^o, 60^o, 90^o$ o $\pi/6, \pi/3, \pi/2$ si prefieres. Estas son medidas de ángulos físicos que nunca son negativos.

Sin embargo, las mediciones se hacen en grados o radianes que es un sistema numérico y podemos pensar en un número como $-60^o$ o $-\pi/6$. Estos son simplemente números.

Probablemente viste "ángulos negativos" en clase de trigonometría cuando los confundiste con números negativos de medidas de ángulo. Funciones como $\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$, etc. son fáciles de definir para $\theta$ entre $0^o$ y $360^o$ pero también podemos definirlas fácilmente para cualquier otra medición incluyendo números como $-60^o$ al darnos cuenta de que en el círculo unitario ir $-60^o$ (o $60^o$ en sentido contrario a las manecillas del reloj) es lo mismo que ir $300^o$ en sentido contrario a las manecillas del reloj.

¡Espero que esto ayude!

Answer 4

Los ángulos no son negativos, sin embargo en trigonometría fácilmente hablamos de ellos de todas formas. La herramienta que usamos para darles sentido es aritmética modular.

La aritmética modular organiza los números en un reloj o ciclo, por ejemplo, en módulo 3 contamos $0,1,2,0,1,2,0,1,\dots$. Simplemente tenemos $3$ enteros, y si llegamos a $3$ simplemente volvemos a $0$. Por lo tanto decimos que $3$ módulo $3$ es $0$, lo cual se escribe como $3\equiv0\pmod{3}$

Cuando usamos números modulares, tampoco tenemos números negativos, y si bajamos de cero, terminamos arriba nuevamente, así que $-1\equiv2\pmod{3}$

Tenemos una regla aquí y es que podemos sumar o restar el número al que estamos aplicando el módulo tantas veces como queramos, y seguirá siendo el mismo.

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Cuando usamos grados, una vuelta completa en un círculo es de $360^\circ$, y cuando hemos completado una vuelta completa en un círculo, simplemente estamos de vuelta donde empezamos. Esto es similar a la operación de módulo que mencioné anteriormente, y podemos usar el concepto de módulo para explicar cómo operan los ángulos al ir por debajo de $0^\circ$ o por encima de $360^\circ$.

Cuando trabajamos con grados, volvemos a cero en los $360^\circ$, por lo tanto en grados tiene sentido decir que los grados funcionan usando módulo $360^\circ$. Si entendemos los ángulos de esta manera, podemos explicar qué es realmente un ángulo negativo. Por ejemplo, tomemos $-90^\circ$, podemos aplicar aritmética modular, lo que nos permite sumar $360$ a cualquier ángulo sin cambiarlo: $-90^\circ\equiv270^\circ\pmod{360^\circ}$ y si dibujas esos dos ángulos en el círculo unitario, nota cómo los ángulos apuntan al mismo lugar.

Todo esto también explica por qué al ir por encima de $360^\circ$ puedes volver a ir por debajo de nuevo, es decir $400^\circ\equiv40^\circ\pmod{360^\circ}$, por lo tanto, el ángulo $40^\circ$ y $400^\circ$ son simplemente lo mismo.

Cuando hablamos de radianes, es muy similar, excepto que una vuelta completa es de $2\pi$ en lugar de $360$, por lo tanto tenemos que trabajar con módulo $2\pi$ con radianes.

Answer 5

El ángulo es una medida y no puede ser negativo, y se usa para definir un punto específico en el círculo trigonométrico. En el círculo trigonométrico, la rotación en sentido antihorario se denota con el signo positivo y la rotación en sentido horario se denota con el signo negativo. Por ejemplo, moverse 60 grados en la dirección positiva es completamente idéntico a moverse 300 grados en la dirección negativa, ya que ambos definen un punto. Ten en cuenta que la elección de + o - es completamente arbitraria y no hace ninguna diferencia; lo que realmente importa es el valor absoluto del desplazamiento angular.