¿Hay infinitamente muchos números de Fibonacci que son potencias de 2? ¿Si no es así, que es el más grande?
Respuestas
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Los números de Fibonacci tienen el máximo de divisibilidad de la regla que se podía esperar. Los números de Fibonacci comunes divisores exactamente cuando sus correspondientes índices comunes divisores, $\gcd(F[m],F[n])$ = $F_{\gcd(m,n)}$.
Este resultado significa que el índice de Fibonacci de toda la potencia de $2$ más de $8$ debe ser divisible por $6$ $F_6 = 8$ y esto significa que el índice de poder de los $2$ Fibonacci número mayor que $8$ debe ser una potencia de 6 y por lo tanto debe ser divisible por $F_{36}$.
Sin embargo $F_{36}$ es también divisible por $F_{9}$ desde $9$ divide a $36$ y dado que $F_9 = 34, F_{36}$ es por lo tanto divisible por $34$ y no puede ser una potencia de 2$$.
Desde cualquier candidato poderes de $2$ más de $8$ debe ser divisible por $34$ no puede haber números de Fibonacci mayor que $8$ que son potencias de 2$$.
Jezz
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Lo que puedo decir, como un corolario del Teorema de Carmichael, se deduce que no hay números de Fibonacci distintos $ de $1, $2$ y $8$ pueden ser poderes de $2$. Por lo tanto, es el más grande $8$.
Stuart Winter
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21
Hay tres, y el más grande es de 8.
