Puede un elemento en un Noetherian anillo arbitrariamente largo factorizations?

Question

Supongamos $R$ es un Noetherian anillo. Es posible que un elemento $r\in R$ arbitrariamente largo factorizations? Es decir, para todos los $n>0$, existe una factorización de la $r=a_{1n}a_{2n}\cdots a_{nn}$ de manera tal que cada una de las $a_{in}$ no es una unidad? Si esto no es posible, lo que sobre el más débil de la hipótesis de ascender en la cadena de condición de director ideales? Es evidente que esto no puede suceder en un disco flash usb.

Answer 1

Usted puede incluso tener arbitrariamente larga factorizations con un finito anillo.

Tomar el campo de dos elementos $F$, de forma $R=F\times F$, y deje $e=(1,0)$. A continuación, $e$ no es una unidad y $e=e^n$ para cualquier entero positivo.

Por supuesto, si usted quiere descartar idempotents como esta se puede mirar dominios y local de los anillos. Como otros carteles han explicado, su suerte será definitivamente mejor con Noetherian dominios.

Addendum: hubo un comentario y una solución que me estaba refiriendo a que no aparecen aquí. La solución para los dominios se trasladó aquí.